[논문 리뷰] Equivalences between Non-trivial Variants of 3LDT and Conv3LDT

Bartłomiej Dudek, Paweł Gawrychowski외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 05.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 56인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 강한 하위제곱 시간 감소를 통해, 세 정수 α₁x₁ + α₂x₂ + α₃x₃ = t 를 만족하는 비자명한 3LDT 문제의 모든 비자명한 변형과 고전적인 3SUM 문제 사이의 하위제곱 시간 등가성을 확립한다. 이는 다항식적으로 유계된 영역에서의 컨볼루션 기반 변형(Conv3LDT)으로까지 확장되며, 모든 비자명한 변형이 3SUM과 하위제곱 시간 등가임을 보여주며, 구조적 합-free 집합에 대한 Behrend의 구성 기법을 새로운 방식으로 적용하여 x₁ + x₂ = 2x₃ 문제에 대한 3SUM 난이도의 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The popular 3SUM conjecture states that there is no strongly subquadratic time algorithm for checking if a given set of integers contains three distinct elements $x_1, x_2, x_3$ such that $x_1+x_2=x_3$. A closely related problem is to check if a given set of integers contains distinct elements satisfying $x_1+x_2=2x_3$. This can be reduced to 3SUM in almost-linear time, but surprisingly a reverse reduction establishing 3SUM hardness was not known. We provide such a reduction, thus resolving an open question of Erickson. In fact, we consider a more general problem called 3LDT parameterized by integer parameters $α_1, α_2, α_3$ and $t$. In this problem, we need to check if a given set of integers contains distinct elements $x_1, x_2, x_3$ such that $α_1 x_1+α_2 x_2 +α_3 x_3 = t$. We prove that all non-trivial variants of 3LDT over the same universe $[-n^c,n^c]$ for some $c\geq2$ are equivalent under subquadratic reductions. The main technical tool used in our proof is an application of the famous Behrend's construction that partitions a given set of integers into few subsets that avoid a chosen linear equation. We extend our results to Conv3LDT and show that for all $c\geq2$, all non-trivial variants of 3LDT over the universe $[-n^c,n^c]$ and of Conv3LDT over the universe $[-n^{c-1},n^{c-1}]$ are subquadratic-equivalent, so in particular they are all equivalent to 3SUM under subquadratic reductions. Finally, we show how to apply the methods of Fischer et al. to show that we can reduce non-trivial variant of 3LDT (Conv3LDT) over an arbitrary universe to the same variant over cubic (quadratic) universe.

연구 동기 및 목표

• Erickson가 제기한 x₁ + x₂ = 2x₃ 문제의 3SUM 난이도에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 다항식적으로 유계된 영역에서의 3LDT 및 Conv3LDT 모든 변형을 분류하기 위해.
• c ≥ 2 인 [−nc, nc] 영역에서의 비자명한 3LDT 변형이 3SUM과 하위제곱 시간 등가임을 보여주기 위해.
• c ≥ 2 인 [−nc−1, nc−1] 영역에서의 컨볼루션 기반 변형(Conv3LDT)으로 등가성 확장하기 위해.
• 등가성 손실 없이 임의의 영역을 입방체 또는 이차 영역으로 감소시킬 수 있는지 보여주기 위해.

제안 방법

• 정수 집합을 소수 개의 합-free 부분집합으로 나누기 위해 Behrend의 구성 기법을 적용하여 구조적 감소를 가능하게 한다.
• c ≥ 2 인 [−nc, nc] 영역에서의 비자명한 3LDT 변형 간의 등가성을 하위제곱 감소를 통해 보여준다.
• 감소 기법을 Conv3LDT로 확장하여, c ≥ 2 인 [−nc−1, nc−1] 영역에서 3SUM과의 등가성을 증명한다.
• Fischer 등(2024년 ITCS)의 기법을 활용하여, 임의의 영역을 입방체 또는 이차 영역으로 감소시킨다.
• 색상 칠하기와 매개변수화 감소 기법을 사용하여 3LDT에서의 서로 다른 조건을 다룬다.
• 3LDT 변형과 3SUM 사이에 상하향 모두 가능한 하위제곱 감소를 확립하여 완전성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 x₁ + x₂ = 2x₃ 문제는 3SUM 난이도를 갖는가? Erickson의 열린 문제를 해결한다.
• RQ2 c ≥ 2 인 [−nc, nc] 영역에서의 모든 비자명한 3LDT 변형은 3SUM과 하위제곱 시간 등가인가?
• RQ3 c ≥ 2 인 [−nc−1, nc−1] 영역에서의 Conv3LDT 변형도 동일한 등가성을 갖는가?
• RQ4 3LDT의 임의의 영역은 등가성 손실 없이 입방체 영역으로 감소시킬 수 있는가?
• RQ5 Conv3LDT는 하위제곱 시간 등가성 손실 없이 이차 영역으로 감소시킬 수 있는가?

주요 결과

• c ≥ 2 인 [−nc, nc] 영역에서의 모든 비자명한 3LDT 변형은 3SUM과 하위제곱 시간 등가이다.
• c ≥ 2 인 [−nc−1, nc−1] 영역에서의 모든 비자명한 Conv3LDT 변형은 3SUM과 하위제곱 시간 등가이다.
• x₁ + x₂ = 2x₃ 문제는 3SUM 난이도를 갖는다. Erickson의 열린 문제를 해결한다.
• 감소 기법은 정수를 소수 개의 합-free 집합으로 나누기 위해 Behrend의 구성 기법에 의존한다.
• 임의의 영역에서의 비자명한 3LDT 변형은 하위제곱 시간 오버헤드로 입방체 영역의 변형으로 감소시킬 수 있다.
• 임의의 영역에서의 비자명한 Conv3LDT 변형은 하위제곱 시간 오버헤드로 이차 영역의 변형으로 감소시킬 수 있다.