[논문 리뷰] Equivariant cohomology and resolution

Pierre Albin, Richard Melrose|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다각형을 가진 다양체 위에서 컴act 리 군의 부드러운 작용을 반복적 블로우업을 통해 표준화된 방식으로 해결함으로써, 모든 이소트로피 유형을 균일하게 해소하는 해소 타워를 구축한다. 이 과정에서 등변 K-이론, 카르탕 모델, 분산 등변 코homology를 추적하여 몫 해소 위에서 명시적이고 단순화된 모델을 제공하고, 해소된 설정에서 명시적인 등변 체르니 코homology를 가능하게 한다.

ABSTRACT

The `Folk Theorem' that a smooth action by a compact Lie group can be (canonically) resolved, by iterated blow up, to have unique isotropy type is proved in the context of manifolds with corners. This procedure is shown to capture the simultaneous resolution of all isotropy types in a `resolution tower' which projects to a resolution, with iterated boundary fibration, of the quotient. Equivariant K-theory and the Cartan model for equivariant cohomology are tracked under the resolution procedure as is the delocalized equivariant cohomology of Baum, Brylinski and MacPherson. This leads to resolved models for each of these cohomology theories, in terms of relative objects over the resolution tower and hence to reduced models as flat-twisted relative objects over the resolution of the quotient. As a result an explicit equivariant Chern character is constructed, essentially as in the non-equivariant case, over the resolution of the quotient.

연구 동기 및 목표

• 다각형을 가진 다양체 위에서 컴 pact 리 군의 부드러운 작용을 반복적 블로우업을 통해 표준화되고 유일한 이소트로피 유형을 보장하는 방식으로 해소하는 것.
• 모든 이소트로피 유형을 동시에 해소하고 몫 공간의 해소로 사라지는 해소 타워를 구축하는 것.
• 해소 과정 동안 등변 K-이론, 등변 코homology의 카르탕 모델, 그리고 분산 등변 코homology를 추적하는 것.
• 몫 공간의 해소 위에서 등변 코hom로지 이론에 대한 축소된, 평탄한 변형을 가한 상대적 모델을 유도하는 것.
• 해소된 설정에서 비등변 케이스와 유사한 명시적인 등변 체르니 코homology를 구성하는 것.

제안 방법

• 다각형을 가진 다양체의 반복적 블로우업을 활용하여 이소트로피 유형을 표준적이고 균일하게 해소하는 것.
• 모든 이소트로피 유형을 동시에 해소하고, 반복적 경계 피브레이션 구조를 지닌 몫 공간의 해소로 사라지는 해소 타워를 구성하는 것.
• 해소 타워 위에서 상대적 대상들을 통해 해소 과정 동안 등변 K-이론과 등변 코hom로지의 카르탕 모델을 추적하는 것.
• Baum, Brylinski, MacPherson의 정의에 따라 분산 등변 코hom로지를 프레임워크에 확장하는 것.
• 각 코hom로지 이론에 대해 몫 해소 위에서 축소된, 평탄한 변형을 가한 상대적 모델을 도출하여 그 구조를 단순화하는 것.
• 해소된 몫 공간 위에서 비등변 구성과 유사한 명시적인 등변 체르니 코homology를 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다각형을 가진 다양체 위에서 컴 pact 리 군의 부드러운 작용을 반복적 블로우업을 통해 비균일한 이소트로피 유형을 제거하는 표준 해소 방법은 무엇인가?
• RQ2 모든 이소트로피 유형을 동시에 해소하고 몫 해소로 사라지는 해소 타워의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 등변 K-이론과 등변 코hom로지의 카르탕 모델은 해소 절차 동안 어떻게 변하는가?
• RQ4 분산 등변 코hom로지는 해소 프레임워크 안에서 어떻게 유지되거나 변형되는가?
• RQ5 비등변 케이스와 유사한 명시적인 등변 체르니 코homology는 해소된 설정에서 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 컴 pact 리 군의 작용은 다각형을 가진 다양체 위에서 반복적 블로우업을 통해 표준화되어, 유일한 이소트로피 유형을 갖는다.
• 해소 과정은 반복적 경계 피브레이션 구조를 지닌 몫 해소로 사라지는 해소 타워를 생성한다.
• 등변 K-이론과 등변 코hom로지의 카르탕 모델은 해소 타워 위에서 상대적 대상으로서 유지된다.
• 분산 등변 코호모로지는 해소 과정 동안 추적되어, 해소된 프레임워크 내에서 재구성 가능하다.
• 모든 세 코호모로지 이론에 대해 몫 공간의 해소 위에서 축소된, 평탄한 변형을 가한 상대적 모델이 구성된다.
• 비등변 케이스와 유사한 명시적인 등변 체르니 코호모로지가 해소된 몫 공간 위에서 실현된다.