[논문 리뷰] Equivariant K-theory and Higher Chow Groups of Smooth Varieties

Amalendu Krishna|arXiv (Cornell University)|2009. 06. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 21인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 분할 토르스 작용을 갖는 스무스 다양체에 대해 등변 및 비등변 고차 카우프만 군을 연결하는 스펙트럴 시퀀스를 수립하며, 이 시퀀스가 분해됨을 증명하고 스무스 프로젝티브 다양체에 대해 명시적 공식을 도출한다. 유리수 계수를 사용할 경우 결과는 연결된 분할 재데크티브 군으로까지 확장되며, 그레아엄의 정리의 일반화와 고차 K-이론에 대한 개선된 등변 리만-로흐 정리가 가능해진다.

ABSTRACT

For any variety X with an action of a split torus over a field, we establish a spectral sequence connecting the equivariant and the non-equivariant higher Chow groups of X. For X smooth and projective, we give an explicit formula relating the equivariant and the non-equivariant higher Chow groups. This in particular implies that the spectral sequence degenerates. These results also hold with rational coefficients for action of any connected and split reductive group. As applications to the above results, we show that for a connected linear algebraic group G acting on a smooth projective variety X, the forgetful map K G i (X) → Ki(X) induces an isomorphism K G i (X)/IGK G i (X) ∼ = − → Ki(X) with rational coefficients. This generalizes a result of Graham to higher K-theory of such varieties. We also prove a refinement of the equivariant Riemann-Roch theorem of [17] and [16] for such varieties, which leads to the generalizations of the main results of [7] and [9] to the equivariant higher K-theory.

연구 동기 및 목표

• 분할 토르스 작용을 갖는 다양체에 대해 등변 및 비등변 고차 카우프만 군을 연결하는 스펙트럴 시퀀스를 수립하기.
• 스무스 프로젝티브 다양체에 대해 등변 및 비등변 고차 카우프만 군을 연결하는 명시적 공식을 도출하기.
• K-이론에서 忘却 사상에 대한 그레아엄의 결과를 유리수 계수를 갖는 고차 K-이론으로 일반화하기.
• 재데크티브 군 작용을 갖는 스무스 프로젝티브 다양체의 맥락에서 고차 K-이론에 대한 등변 리만-로흐 정리를 개선하기.
• [7]과 [9]의 결과를 등변 고차 K-이론 설정으로까지 확장하기.

제안 방법

• 분할 토르스의 작용 필터링을 통해 등변 고차 카우프만 군에서 비등변 군으로의 스펙트럴 시퀀스를 구성하기.
• X의 스무스성과 프로젝티비티를 이용하여 스펙트럴 시퀀스의 분해를 증명하고, 등변 고차 카우프만 군에 대한 명시적 공식을 가능하게 하기.
• 유리수 계수를 적용하여 토르스 작용의 결과를 연결된 분할 재데크티브 군으로까지 확장하기.
• 잊혀진 사상 $ K^G_i(X) \to K_i(X) $ 를 분석하고, 증폭 이상 $ I_G $ 로 몫을 취할 경우 유리수 계수에서 동형사상이 된다는 것을 보여주기.
• 등변 K-이론과 고차 카우프만 군의 구조를 통합하여 등변 리만-로흐 정리를 개선하기.
• 스펙트럴 시퀀스와 분해를 활용하여 [7]과 [9]의 이전 결과를 고차 K-이론으로부터 등변 설정으로 일반화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 토르스 작용을 갖는 스무스 다양체에 대해 등변 및 비등변 고차 카우프만 군은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 등변 및 비등변 고차 카우프만 군을 연결하는 스펙트럴 시퀀스는 어떤 조건에서 분해되는가?
• RQ3 유리수 계수를 갖는 고차 K-이론으로 K-이론에서 忘却 사상에 대한 그레아엄의 정리를 어느 정도까지 일반화할 수 있는가?
• RQ4 스무스 프로젝티브 다양체의 맥락에서 고차 K-이론에 대한 등변 리만-로흐 정리는 어떻게 개선될 수 있는가?
• RQ5 이러한 결과는 등변 K-이론의 구조에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 분할 토르스 작용을 갖는 스무스 다양체에 대해 등변 및 비등변 고차 카우프만 군을 연결하는 스펙트럴 시퀀스가 구성되었다.
• 스무스 프로젝티브 다양체에서는 이 스펙트럴 시퀀스가 분해되어 등변 고차 카우프만 군에 대한 명시적 공식을 도출할 수 있다.
• 유리수 계수를 사용할 경우 결과는 임의의 연결된 분할 재데크티브 군의 작용으로까지 확장된다.
• 스무스 프로젝티브 다양체에 대해 유리수 계수에서 忘却 사상 $ K^G_i(X) \to K_i(X) $ 는 $ K^G_i(X)/I_G K^G_i(X) \xrightarrow{\sim} K_i(X) $ 를 유도한다.
• 개선된 형태의 등변 리만-로흐 정리가 수립되었으며, [7]과 [9]의 결과를 고차 K-이론으로 일반화하였다.
• 이 틀을 통해 재데크티브 군 작용 하에서 스무스 프로젝티브 다양체에 대해 등변 K-이론의 핵심 정리들을 고차 K-이론으로 확장할 수 있다.