[논문 리뷰] Erdős-Ko-Rado problems for permutation groups

Cai Heng Li, Shu Jiao Song외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 18.

Finite Group Theory Research인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 순열군에서의 Erdős-Ko-Rado (EKR) 성질을 조사하며, 2-전이성과 프로베누스 군이 EKR 성질을 만족함을 보여주지만(최대 교차 집합의 크기가 점 안정자군 크기로 유계임), 일반적인 전이성 군은 이 유계성 조건을 임의로 위반할 수 있음을 밝힌다. 주요 기여는 원시 군에 대해 최대 교차 집합 크기와 안정자군 크기의 비율을 둘러싸는 절대 상수가 존재하지 않음을 증명한 것이며, 모든 소수 거듭제곱 차수를 가진 순열군이 EKR 성질을 만족함을 보였다.

ABSTRACT

In this paper, we study intersecting sets in primitive and quasiprimitive permutation groups. Let $G \leqslant \mathrm{Sym}(Ω)$ be a transitive permutation group, and ${S}$ an intersecting set. Previous results show that if $G$ is either 2-transitive or a Frobenius group, then $|{S}|\leqslant|G_ω|$ (for some $ω\in Ω$). Furthermore, for some 2-transitive groups, $|{S}|=|G_ω|$ if and only if ${S}$ is a coset of a stabilizer. In this paper, we prove that these statements are far from the truth for general transitive groups. In particular, we show that in the case of primitive groups, there is even no absolute constant $c$ such that $|{S}|\leqslant c|G_ω|$. In the case $G$ is a primitive permutation group isomorphic to $\mathrm{PSL(2,p)}$, we characterize the subgroups of $G$ which are intersecting sets. We also show that if $G \leqslant \mathrm{Sym}(Ω)$ is a permutation group of prime power degree, then for any intersecting set $S$, we have $|S|\leq |G_ω|$ (for some $ω\in Ω$). This proves a part of a conjecture in \cite{MRS}.

연구 동기 및 목표

• 전이성 순열군에서 최대 교차 집합의 크기가 2-전이성 및 프로베누스 군에서처럼 점 안정자군 크기로 유계인지 여쭤보는 것.
• 최대 교차 집합이 항상 점 안정자군의 오른쪽 여부합인지, 즉 엄격한 EKR 성질이 성립하는지 여쭤보는 것.
• PSL(2,p)와 동형인 원시 군에서의 교차 집합을 특성화하고, 준원시 및 원시 군에서의 EKR 성질을 탐구하는 것.
• 소수 거듭제수 차수를 가진 순열군이 EKR 성질을 만족함을 증명하여 [17]에서 제기된 추측을 확인하는 것.

제안 방법

• 최대 교차 집합 S와 점 안정자군 Gω에 대해 비율 ρ(G, Ω) = |S| / |Gω|를 정의하여 EKR 성질에서의 이탈 정도를 측정하는 것.
• ρ(G, Ω)가 임의로 클 수 있는 전이성 군의 무한한 가족을 구성하여 일반적으로 EKR 성질이 실패할 수 있음을 보여주는 것.
• p-군에서의 정확히 전이성 집합의 존재를 이용하여 전이성 p-군(따라서 소수 거듭제곱 차수를 가진 군)이 EKR 성질을 만족함을 증명하는 것.
• Lemma 2.4를 적용하여 정확히 전이성 집합의 존재가 EKR 성질로 이어짐을 보여주며, 이러한 집합이 군에 대해 EKR 성질을 유도함을 보이는 것.
• 프로베누스 군을 분석하여 |H| ≥ 3일 때 최대 교차 집합이 안정자군의 여부합이 아닌 경우가 존재함을 보여, 엄격한 EKR 성질이 실패함을 밝히는 것.
• 군 작용 이론, 정규부분군, 궤도 구조(예: SL(2,3)에서 Q8의 정규 작용)를 이용하여 비프로베누스 군에서 여부합이 아닌 교차 집합을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이성 순열군, 심지어 원시 군일지라도 비율 ρ(G, Ω) = |S| / |Gω|가 임의로 클 수 있는가?
• RQ2 모든 소수 거듭제곱 차수를 가진 순열군이 EKR 성질(즉, |S| ≤ |Gω|)을 만족하는가?
• RQ3 원시 군이 PSL(2,p)와 동형인 경우, 교차 집합이 되는 부분군은 무엇인가?
• RQ4 최대 교차 집합이 점 안정자군의 여부합이 되지 않을 조건은 무엇이며, 이는 엄격한 EKR 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 p-군에서 정확히 전이성 집합이 존재하면, 그 군에 대해 EKR 성질이 성립하는가?

주요 결과

• 전이성 순열군 중에는 비율 ρ(G, Ω)가 임의로 클 수 있는 것이 존재하므로, 모든 이러한 군에 대해 |S| ≤ c|Gω|를 만족하는 절대 상수 c가 존재하지 않는다.
• 원시 군이 PSL(2,p)와 동형인 경우, 논문은 교차 집합이 되는 부분군을 특성화하며 구조적 분류를 제공한다.
• 소수 거듭제곱 차수를 가진 모든 순열군은 EKR 성질을 만족한다. 이는 p-군에서 정확히 전이성 집합의 존재를 통해 증명된다.
• 모든 전이성 p-군에서 EKR 성질이 성립하며, 이는 Sylow 부분군 분석을 통해 소수 거듭제곱 차수를 가진 모든 전이성 군으로 확장된다.
• |H| ≥ 3인 프로베누스 군에서는 최대 교차 집합이 점 안정자군의 여부합이 아닌 경우가 존재하므로 엄격한 EKR 성질이 실패한다.
• 예를 들어 S = (H ackslash {h}) ∪ {ch}와 같이 여부합의 합집합을 통한 교차 집합 구성은 SL(2,3)과 같은 비프로베누스 군에서 여부합이 아닌 최대 집합을 보여준다.