[논문 리뷰] Ergodic theory of Random Anosov systems mixing on fibers

Wen Huang, Zeng Lian외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 26.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 28인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 외부 힘에 의해 구동되는 섬유별 앙스وف 시스템에서 랜덤 주기점과 랜덤 호새를 존재함을 확립하고, 그들의 조밀성과 랜덤 불변 측도, 약한 랜덤 리브시크 정리와의 연결을 증명한다. 이는 섬유별 쌍곡성과 섬유상의 위상적 혼합성을 갖는 부드러운 에르고딕 이론을 랜덤 동역계로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the complicated dynamics of Anosov systems driven by an external force in the context of geometric theory (an abundance of random periodic points and random horseshoes) and smooth ergodic theory (random periodic measures and random Liv\v sic Theorem).

연구 동기 및 목표

• 섬유별 앙스оф 구조를 갖는 랜덤 동역계에서 랜덤 주기점의 존재성과 조밀성을 조사한다.
• 측도적 섹션 상의 분리 함수를 사용하여 섬유상의 위상적 혼합성을 갖는 시스템에서 랜덤 호새의 존재성을 확립한다.
• 이러한 시스템에서 주기적 랜덤 불변 측도가 불변 측도의 공간에서 조밀함을 증명한다.
• 섬유별 쌍곡성을 갖는 기저 동역계 위의 코어불루에 대해 랜덤 리브시크 정리의 약한 형태를 개발한다.
• 랜덤 쌍곡성의 기하적 구조와 엔트로피 및 SRB 측도와 같은 에르고딕 불변량 간의 관계를 연결한다.

제안 방법

• 기저 변환 $ \theta: \Omega \to \Omega $ 위에서 코시클 $ F(n,\omega,x) $로 정의된 랜덤 동역계를 고려하며, 컴acts 리만다이언 군만 $ M $ 상에서 작용하는 $ f_\omega $를 포함한다.
• 연속적이고 $ Df_\omega $-불변 분해 $ T_xM_\omega = E^u \oplus E^s $를 통해 섬유상에서의 앙스оф 성질을 정의하며, 균일한 지수적 팽창과 수축을 보장한다.
• 섬유상의 위상적 혼합 조건을 도입한다: 임의의 열린 집합 $ U,V \subset M $에 대해, 모든 $ n \geq N $에 대해 $ \phi^n(U \times \{\omega\}) \cap V \times \{\theta^n\omega\} \neq \emptyset $ 임을 만족하는 $ N $ 이 존재한다.
• 측도적 섹션 $ g_i \in L^\infty(\Omega,M) $로 정의된 랜덤 주기점을 $ \tilde{\phi}(g_i) = g_{i+1 \mod n} $ 를 만족하는 것으로 정의하며, 여기서 $ \tilde{\phi} $ 는 섹션 위에 유도된 사상이다.
• 측도적 섹션 상의 분리 함수 $ \underline{d}_{L^\infty} $ 와 $ \overline{d}_{L^\infty} $ 를 사용하여 랜덤 호새를 구성하며, 이는 랜덤 유한 유형의 부분시행과 동형인 하위계열을 식별한다.
• 가능한 선택 정리(정리 B.1)를 적용하여 측도적 불변 섹션의 존재를 보장하고, 기호 동역계로의 동형을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 섬유상의 위상적 혼합성을 갖는 섬유별 앙스оф 시스템에서 랜덤 주기점이 존재하며, 측도적 섹션 공간에서 조밀한가?
• RQ2 이러한 시스템에서 랜덤 호새를 구성할 수 있으며, 그 위상적 및 측도론적 구조는 어떠한가?
• RQ3 이러한 시스템에서 주기적 랜덤 불변 측도는 모든 불변 측도의 공간에서 조밀한가?
• RQ4 섬유별 앙스оф 시스템의 맥락에서 코바운더리 방정식에 대해 약한 랜덤 리브시크 정리가 성립하는가?
• RQ5 섬유별 쌍곡성과 혼합성의 기하적 성질은 엔트로피 및 SRB 측도와 같은 에르고딕 불변량과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 랜덤 주기점은 $ L^\infty $-거리에 대해 공간 $ L^\infty(\Omega,M) $ 내에서 조밀하며, 이는 랜덤 시스템 내 풍부한 주기적 구조를 의미한다.
• 랜덤 호새는 존재하며, 랜덤 유한 유형의 서브시프트 $ \Sigma_A $ 와 동형이며, 측도적 선택과 마르코프 분할을 통해 동형이 구성된다.
• 주기적 랜덤 불변 측도는 모든 $ F $-불변 확률 측도의 공간에서 조밀하며, 이는 불변 측도가 주기적 측도로 근사가 가능함을 보장한다.
• 약한 랜덤 리브시크 정리가 확립되었다: 만약 랜덤 호더 연속 함수 $ \varphi $ 가 코바운더리 조건 $ \varphi = h \circ \tilde{\phi} - h $ 를 만족하면, 보웬 성질과 사양 조건 하에 $ \varphi \equiv 0 $ 이다.
• 시스템은 유일한 랜덤 싱클-르엘-보웬(SRB) 측도 $ \nu $ 를 갖으며, 이는 랜덤 안착자 $ \Lambda $ 에서 지지되며, 최대 엔트로피와 불변 다변수의 불변 조건부 측도의 절대 연속성으로 특징지어진다.
• SRB 측도 $ \nu $ 는 약한 극한 $ \nu_\omega = \lim_{n \to \infty} F(n, \theta^{-n}\omega) m_{\theta^{-n}\omega} $ 으로 나타나며, 절대 연속 초깃값에 대해 통계적 안정성을 확인한다.