[论文解读] Ergodicity and equidistribution in Hilbert geometry

Pierre-Louis Blayac, Feng Zhu|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 57被引用 4

一句话总结

本论文建立了在具有由Patterson–Sullivan密度导出的有限Sullivan测度的秩一恰当凸投影流形或轨道丛上，Hilbert测地流的遍历性与等分布性结果。在Roblin对CAT(−1)空间框架的基础上，作者证明了测地流的强混合性，以及轨道与本原闭测地线的等分布性，从而实现了在具有C¹边界、几何有限且严格凸的Hilbert几何中对这类对象的渐近计数。

ABSTRACT

We show that dynamical and counting results characteristic of negatively-curved Riemannian geometry, or more generally CAT($-1$) or rank-one CAT($0$) spaces, also hold for rank-one properly convex projective structures, equipped with their Hilbert metrics, admitting finite Sullivan measures built from appropriate conformal densities. In particular, this includes geometrically finite convex projective structures. More specifically, with respect to the Sullivan measure, the Hilbert geodesic flow is strongly mixing, and orbits and primitive closed geodesics equidistribute, allowing us to asymptotically enumerate these objects.

研究动机与目标

• 将Roblin在CAT(−1)空间中的遍历性与等分布性结果，推广至秩一恰当凸Hilbert几何。
• 建立基于Patterson–Sullivan密度构造的Sullivan测度下，Hilbert测地流的强混合性。
• 在具有C¹边界、几何有限且严格凸的Hilbert流形中，推导出轨道与本原闭测地线的渐近计数估计。
• 将先前在紧致或严格凸设定下关于等分布性与计数结果的结论，推广至非紧或非严格凸的情形。

提出的方法

• 在商流形的单位切丛上，利用边界无穷远处的Patterson–Sullivan密度构造Sullivan测度。
• 利用秩一条件——即存在两个具有C¹、强极值不动点的双曲元素——以确保类似负曲率的动力学复杂性。
• 应用Roblin在CAT(−1)空间中的工作技术，通过使用水平叶层与流不变测度，将其适配至Hilbert几何。
• 通过证明测地流关于Sullivan测度的强混合性，建立轨道与本原闭测地线的等分布性。
• 利用轨道追踪与锥邻域的几何估计，控制给定平移长度内群元素的数量，借助指数增长速率。
• 通过在compactly supported连续函数上积分等分布结果并应用测度归一化，推导出渐近计数公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在秩一恰当凸投影Hilbert流形上，Hilbert测地流是否关于Sullivan测度表现出强混合性？
• RQ2 在具有C¹边界、非紧且几何有限的凸投影流形中，能否建立轨道与本原闭测地线的等分布性？
• RQ3 Patterson–Sullivan密度及其相关Sullivan测度在非CAT(−1)的Hilbert几何中，能否构成等分布性与计数的可行框架？
• RQ4 在几何有限、严格凸且具有C¹边界的Hilbert流形中，本原闭测地线数量的渐近增长速率如何？

主要发现

• 基于Patterson–Sullivan密度构造的Sullivan测度下，Hilbert测地流是强混合的。
• 在Sullivan测度下，轨道在凸投影流形的单位切丛中沿测地流实现等分布。
• 本原闭测地线在单位切丛中等分布，其平移长度不超过T的测地线数量渐近增长为e^{δT}/(δT)，当T → ∞时。
• 在几何有限、不可约且严格凸、具有C¹边界的Hilbert流形中，本原闭测地线数量的渐近计数公式 #[Γ]_T^{pr1} ∼ e^{-δT}/(δT) 成立。
• 与非平凡稳定子群（核心固定子群）相关的周期轨道集合对总数的贡献可忽略不计，其数量相对于主项呈指数衰减。
• 证明依赖于通过锥邻域对轨道追踪的几何控制与测度估计，从而得到给定平移长度内群元素数量的统一有界性。