[논문 리뷰] Ergodicity for a stochastic Hodgkin-Huxley model driven by Ornstein-Uhlenbeck type input

Reinhard Höpfner, Eva Löcherbach외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 14.

stochastic dynamics and bifurcation참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 노이즈 있는 덴드리틱 입력을 나타내는 옴스타인-울렌벡 과정에 의해 구동되는 스토하스틱 허드킨-하크스리 모델에 대해 에르고딕성을 확립한다. 전체 상태공간에서 약한 허르만더 조건이 성립하고 라파노프 함수를 구성함으로써, 저자들은 시스템이 최대한 유한한 수의 극한 불변 측도를 가짐을 보이며, 결정론적 경우에 비해 장기적 복잡도가 크게 감소함을 밝힌다.

ABSTRACT

We consider a model describing a neuron and the input it receives from its dendritic tree when this input is a random perturbation of a periodic deterministic signal, driven by an Ornstein-Uhlenbeck process. The neuron itself is modeled by a variant of the classical Hodgkin-Huxley model. Using the existence of an accessible point where the weak Hoermander condition holds and the fact that the coefficients of the system are analytic, we show that the system is non-degenerate. The existence of a Lyapunov function allows to deduce the existence of (at most a finite number of) extremal invariant measures for the process. As a consequence, the complexity of the system is drastically reduced in comparison with the deterministic system.

연구 동기 및 목표

• 시냅스 네트워크로부터 온 시간 비균일성과 노이즈 있는 입력을 갖는 스토하스틱 허드킨-하크스리 모델의 장기적 행동을 분석하기 위해.
• 스토하스틱 외란 하에서 불변 측도의 존재를 확립하고 그 구조를 특성화하기 위해.
• 높은 비퇴화성에도 불구하고 유한한 수의 극한 불변 측도가 존재함을 증명함으로써 시스템의 복잡도를 감소시키기 위해.
• 해석적 계수와 주기적 외력이 있는 매우 퇴화된 시간 비균일성 SDE에 대해 에르고딕성 이론을 확장하기 위해.

제안 방법

• 입력에 브라운 운동이 작용하는 5차원 SDE를 사용하여 뉴런의 세포막 전위와 게이팅 변수를 모델링하기 위해.
• 덴드리틱 입력을 평균 회귀 성질을 갖는 옴스타인-울렌벡 과정으로 표현하며, 그의 준군에 주기적 결정론적 신호를 통합하기 위해.
• 신호와 계수의 해석적 성질을 이용하여 전체 상태공간의 모든 점에서 약한 허르만더 조건이 국소적으로 성립함을 증명하기 위해.
• 하르스 재귀성의 증명을 위해 T-스켈레톤 체인과 확장된 토러스 값 과정에 대해 라파노프 함수를 구성하기 위해.
• 레베그 분해와 누멜린 분할을 이용하여 스펙트럼 체인과 확장된 과정의 불변 측도를 분석하기 위해.
• 지지 정리와 제어 집합 이론을 적용하여 불변 제어 집합이 유한하고 서로소임을 보이고, 이는 유한한 수의 극한 불변 측도를 의미함을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 비균일성과 퇴화된 동역학 하에서 옴스타인-울렌벡 입력을 갖는 스토하스틱 허드킨-하크스리 모델이 불변 측도를 갖는가?
• RQ2 해석적이고 주기적인 입력을 갖는 5차원 퇴화 SDE에 대해 약한 허르만더 조건이 전체적으로 성립하는가?
• RQ3 이러한 시스템이 최대 몇 개의 극한 불변 측도를 가질 수 있으며, 이는 장기적 통계적 행동에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 비 마코프성이고 시간 비균일성인 이 설정에서 스펙트럼 체인과 확장된 토러스 값 과정에 대해 하르스 재귀성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 해석성이 전이 밀도의 정규성과 불변 측도의 유한성 보장에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 약한 허르만더 조건이 전체 상태공간의 모든 점에서 국소적으로 성립하여, 과정의 전이 밀도가 5차원 르베그 측도에 대해 연속적임을 보장한다.
• 시스템은 라파노프 함수를 갖는다. 이는 T-스켈레톤 체인과 토러스 위의 확장된 과정에 대해 하르스 재귀성을 의미한다.
• 과정은 최대한 유한한 수의 극한 불변 측도를 갖는다. 이들 모두는 연속적인 르베그 밀도를 갖는다.
• 각 극한 불변 측도의 지지는 서로소인 불변 제어 집합에 포함되며, 상태공간 내 구의 유한한 덮개로 인해 이러한 집합의 수가 유한함을 보인다.
• 토러스 위의 확장된 과정은 스펙트럼 체인에 대한 불변 측도의 가족으로 분해되며, 이 분해 과정에서 극성이 유지된다.
• 유한한 수의 극한 불변 측도 존재는 결정론적 경우에 비해 시스템의 장기적 통계적 복잡도가 크게 감소함을 의미한다.