[논문 리뷰] Error boundedness of Correction Procedure via Reconstruction / Flux Reconstruction

Philipp Öffner|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 05.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 38인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 초구속 보존법칙에 대한 플럭스 재구성(FR) 및 재구성을 통한 수정 절차(CPR) 방법의 장기적 오차 행동을 조사한다. 수치적 플럭스(상류 또는 중심)보다 노드 기저(Gauss-Legendre 또는 Gauss-Lobatto)의 선택이 오차 증가와 최종 오차 수준에 더 큰 영향을 미친다는 것을 입증하며, 특히 저차수 해상도에서 Gauss-Legendre 기저가 더 낮고 더 빠르게 수렴하는 오차를 제공한다.

ABSTRACT

We study the long-time error behavior of correction procedure via reconstruction / flux reconstruction (CPR/FR) methods for linear hyperbolic conservation laws. We show that not only the choice of the numerical flux (upwind or central) affects the growth rate and asymptotic value of the error, but that the selection of bases (Gauß-Lobatto or Gauß-Legendre) is even more important. Using a Gauß-Legendre basis, the error reaches the asymptotic value faster and to a lower value than when using a Gauß-Lobatto basis. Also, the differences in the error caused by the numerical flux are not essential for low resolution computations in the Gauß-Legendre case. This behavior is better seen on a particular FR scheme which has a strong connection with the discontinuous Galerkin framework but holds also for other flux reconstruction schemes with low order resolution computations.

연구 동기 및 목표

• 선형 초구속 보존법칙에 대한 수정 절차를 통한 재구성(CPR)/플럭스 재구성(FR) 스킴의 장기적 오차 행동을 분석하기 위해.
• 수치적 플럭스(상류 대비 중심)와 노드 기저(Gauss-Legendre 대비 Gauss-Lobatto)의 선택이 오차 증가와 최종 오차 수준에 어떻게 영향을 미치는지 조사하기 위해.
• 기존의 비연속 갈레르킨 스펙트럴 요소 방법(DGSEM)의 안정성 및 오차 분석을 더 넓은 FR/CPR 프레임워크로 확장하기 위해.
• 특히 저차수 해상도 계산에서 오차 역학을 결정하는 데 있어 노드 기저의 역할을 명확히 하기 위해.
• Gauss-Legendre 노드가 FR 스킴에서 Gauss-Lobatto 노드보다 열악한 오차 행동을 보임을 이론적이고 수치적으로 입증하기 위해.

제안 방법

• 선형 초구속 보존법칙에 대해 에너지 안정적인 FR 스킴을 구축하기 위해 합성-통합(SBP) 연산자를 사용한다.
• 각 요소에서 다항식 근사를 사용하는 반분산화 접근법을 적용하며, 이를 기준 구간 [-1, 1]으로 매핑한다.
• 근사 공간의 기저 함수로 Gauss-Legendre 및 Gauss-Lobatto 점을 사용한 노드 기반 라그랑주 보간을 활용한다.
• 절단 오차에서 유도된 강제항을 분석하여 오차 방정식을 유도하고, 그 시간적 진화를 검토한다.
• Vincent(2011)의 일련의 FR 스킴을 사용하여 결과를 일반화하고, 매개수 κ = 0일 때 DGSEM을 특수 케이스로 포함한다.
• 이산 SBP 노름을 사용한 안정성 분석을 수행하고, 교정 함수로 라다우 다항식을 통해 FR 방법과 DG 프레임워크를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수치적 플럭스(상류 대비 중심)의 선택이 FR/CPR 스킴에서 장기적 오차 증가에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 노드 기저(Gauss-Legendre 대비 Gauss-Lobatto)의 영향은 FR 방법에서 최종 오차 수준과 수렴 속도에 어떤가?
• RQ3 DGSEM에서 관찰된 바와 같이, 내부 이산화(경계 조건을 초월한 부분)가 FR 스킴의 오차 유계성에 영향을 미치는가?
• RQ4 왜 Gauss-Legendre 노드를 사용할 경우 Gauss-Lobatto 노드보다 더 일찍 더 낮은 수준에서 최종 오차에 도달하는가?
• RQ5 Gauss-Legendre 노드에서 도입된 추가 오차 항(요소 내 경계 값의 부재로 인해 발생)은 전체 오차 역학에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• FR 스킴에서 Gauss-Legendre 노드 기저는 Gauss-Lobatto 기저보다 유의미하게 낮은 최종 오차 수준을 제공한다.
• Gauss-Legendre 노드를 사용할 경우, 오차가 최종 값에 더 일찍 도달하고 오버슈트가 더 적다.
• Gauss-Legendre 노드를 사용할 경우, 수치적 플럭스(상류 또는 중심)의 선택이 오차 행동에 미치는 영향은 Gauss-Lobatto 노드를 사용할 때보다 작다.
• Gauss-Legendre 노드에서 유도된 추가 오차 항(경계 값의 부재로 인해 발생)은 오차 방정식 프레임워크 내에서 해석하고 분석할 수 있다.
• Gauss-Legendre 노드와 상류 플럭스를 사용한 FR 스킴은 오차 행동에서 DGSEM과 유사하여, 저차수 영역에서의 강건성을 확인한다.
• 이론적 분석은 수치적으로 검증되었으며, 이전 연구(DGSEM 연구)의 테스트 케이스와의 비교를 통해 메서드 간 일관된 경향을 보였다.