[논문 리뷰] Estimation and Prediction using generalized Wendland Covariance Functions under fixed domain asymptotics

Moreno Bevilacqua, Tarik Faouzi외 2명|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|2016. 07. 23.

Soil Geostatistics and Mapping참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고정 도메인 점점 증가하는 표본에서 일반화된 월랜드(GW) 공분산 함수를 사용하는 가우시안 랜덤 필드에 대한 최대우도 추정과 예측의 점점 증가하는 성질을 수립한다. 미세에르고딕 매개변수 추정기의 강한 일致성과 점점 증가하는 정규성을 증명하고, 특정 조건 하에서 GW 모델이 매테른 모델과 동치임을 보이며, 이는 대규모 공간 데이터셋에 대한 효율적이고 희소 행렬 기반의 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study estimation and prediction of Gaussian random fields with covariance models belonging to the generalized Wendland (GW) class, under fixed domain asymptotics. As the Matérn case, this class allows a continuous parameterization of smoothness of the underlying Gaussian random field, being additionally compactly supported. The paper is divided into two parts: First, we characterize the equivalence of two Gaussian measures with GW covariance function, and we provide sufficient conditions for the equivalence of two Gaussian measures with Matérn and GW covariance functions. We elucidate the consequences of these facts in terms of (misspecified) best linear unbiased predictors. In the second part, we establish strong consistency and asymptotic distribution of the maximum likelihood estimator of the microergodic parameter associated to GW covariance model, under fixed domain asymptotics. Our findings are illustrated through a simulation study: The first compares the finite sample behavior of the maximum likelihood estimation of the microergodic parameter with the given asymptotic distribution. We then compare the finite-sample behavior of the prediction and its associated mean square error when using two equivalent Gaussian measures with Matérn and GW covariance model, using covariance tapering as benchmark.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 월랜드(GW) 공분산 함수를 갖는 가우시안 랜덤 필드에서 미세에르고딕 매개변수에 대한 최대우도 추정의 점점 증가 성질을 수립하는 것.
• 고정 도메인 점점 증가하는 조건 하에서 GW 공분산 함수에 의해 유도된 두 가우시안 측도의 동치성을 특성화하는 것.
• GW와 매테른 공분산 함수가 동일한 가우시안 측도를 유도하는 조건을 조사하여, 모형 오지정 하에서도 강건한 예측이 가능하도록 하는 것.
• GW 모델을 사용한 최대우도 추정과 예측의 유한 표본 성능을 평가하며, 특히 공분산 타퍼링과 오지정된 모형과의 비교를 포함하는 것.
• GW 모델이 고정된 지지 구역과 희소 행렬 구조를 갖는 본질적인 국소 지원을 통해 대규모 공간 데이터셋에 대해 전통적인 공분산 타퍼링보다 실용적인 이점을 제공함을 보여주는 것.

제안 방법

• 카메론-마르틴 정리와 스펙트럼 분석을 사용하여 GW 공분산 함수를 갖는 두 가우시안 측도의 동치성을 위한 충분조건을 유도하는 것.
• 고정 도메인 점점 증가하는 이론을 적용하여, 국소 지원이 알려져 있거나 추정되는 GW 모델에 대해 미세에르고딕 매개변수의 최대우도 추정기의 강한 일치성과 점점 증가하는 정규성을 증명하는 것.
• GW 공분산 함수의 스펙트럼 표현을 사용하여 유한한 도메인 내에서 표본 밀도가 증가하는 극한에서의 행동을 분석하는 것.
• 최적의 선형 무편향 예측기(BLUP)와 평균 제곱 오차(MSE)를 기준으로, 오지정 조건 하에서 GW 모델과 매테른 모델의 예측 성능을 비교하는 것.
• 유한 표본 행동을 평가하기 위해 시뮬레이션 연구를 수행하며, 점점 증가하는 근사와의 결과를 대조하는 것.
• 임의의 국소 지원 선택이 추정 정확도에 미치는 영향, 특히 진짜 기반 범위 매개변수와의 관계에서 평가하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정 도메인 점점 증가하는 조건 하에서 일반화된 월랜드 공분산 함수를 갖는 두 가우시안 측도는 어떤 조건에서 동치인가?
• RQ2 일반화된 월랜드 공분산 모델의 미세에르고딕 매개변수는 고정 도메인 점점 증가하는 조건 하에서 일관되게 추정 가능한가? 그리고 그 점점 증가 분포는 무엇인가?
• RQ3 매테른과 일반화된 월랜드 공분산 함수가 유도하는 가우시안 측도가 동치가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 고정 도메인 점점 증가하는 조건 하에서, GW 모델을 사용한 예측 효율성은 오지정된 매테른 모델이나 공분산 타퍼링 모델을 사용한 경우와 비교하여 어떻게 되는가?
• RQ5 국소 지원의 선택이 GW 모델의 유한 표본 성능에 미치는 영향은 어느 정도인가?

주요 결과

• 국소 지원이 추정되는 경우조차도, 고정 도메인 점점 증가하는 조건 하에서 일반화된 월랜드 공분산 모델의 미세에르고딕 매개변수는 강한 일치성과 점점 증가하는 정규성을 갖는다.
• 매테른과 일반화된 월랜드 공분산 함수를 갖는 두 가우시안 측도의 동치성을 위한 충분조건가 제공되며, 이는 모형 오지정 하에서도 유효한 예측을 가능하게 한다.
• 시뮬레이션 결과는 고정된 국소 지원을 사용할 경우, 특히 지원이 잘못 지정된 경우 최대우도 추정의 유한 표본 성능이 열악한 것으로 나타났지만, 매개변수를 함께 추정할 경우 성능이 크게 향상됨을 보여준다.
• 동일한 국소 지원을 갖는 GW 모델을 사용한 예측은 나태한 공분산 타퍼링(CT) 예측기와 오지정된 매테른 모델보다 뛰어나며, 특히 타퍼링 지원이 너무 작은 경우에 두드러진다.
• GW 모델은 본질적인 국소 지원과 최소한의 편향으로 매테른 공분산 함수를 밀도 있게 근사할 수 있는 능력을 갖추고 있어, 대규모 공간 데이터셋에 대해 공분산 타퍼링보다 열등한 대안을 제공한다.
• 이중 타퍼링 접근법은 계산적으로 비효율적이며 GW 모델과 비교할 수 없으며, GW 모델은 추정에 있어 단일 타퍼링 접근법보다 더 효율적이고 정확하다.