[논문 리뷰] Estimation of the parameters of a stochastic logistic growth model

Fabien Campillo, Marc Joannides외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 08.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 퇴화를 고려한 확률적 로지스틱 성장 모델에 대한 우도 기반 추정 방법을 개발한다. 흡수 경계가 0에 존재하는 완전한 포크-플랑크 방정식을 사용하여 퇴화를 반영한다. 표준 밀도가 퇴화 시 존재하지 않는다는 점을 고려해 유한 차분법과 몬테카를로 방법을 적응시켜, 이산적이고 희생될 수 있는 인구 데이터로부터 탄생, 사망, 로지스틱, 노이즈 파라미터의 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider a stochastic logistic growth model involving both birth and death rates in the drift and diffusion coefficients for which extinction eventually occurs almost surely. The associated complete Fokker-Planck equation describing the law of the process is established and studied. We then use its solution to build a likelihood function for the unknown model parameters, when discretely sampled data is available. The existing estimation methods need adaptation in order to deal with the extinction problem. We propose such adaptations, based on the particular form of the Fokker-Planck equation, and we evaluate their performances with numerical simulations. In the same time, we explore the identifiability of the parameters which is a crucial problem for the corresponding deterministic (noise free) model.

연구 동기 및 목표

• 퇴화를 고려한 확률적 로지스틱 모델에 대한 파라미터 추정 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 퇴화를 반영하는 0에서 흡수 경계가 있는 확률적 과정에 대한 완전한 포크-플랑크 방정식을 수립하기 위해.
• 퇴화 사건이 포함된 데이터에서도 유효한 남은 우도 기반 추론 절차를 개발하기 위해.
• 특히 탄생률과 사망률을 구분할 수 있는지 확인하기 위해, 확률적 모델에서의 파라미터 식별 가능성 조사하기 위해.
• 퇴화 조건 하에서 우도 근사화를 위해, 유한 차분법과 몬테카를로 방법을 적응시키기 위해.

제안 방법

• 드리프트 $ b^\theta(x) = (\lambda - \mu - \alpha x)x $ 와 분산 $ \sigma^\theta(x) = \rho \sqrt{(\lambda + \mu + \alpha x)x} $ 를 갖는 확률적 과정의 전이 밀도에 대한 완전한 포크-플랑크 방정식을 유도하며, $ x=0 $ 에서의 흡수를 고려한다.
• 0이 탈출 경계임을 증명하여 거의 확실하게 퇴화가 발생함을 보이고, 이를 바탕으로 전이 커널을 구성한다.
• 이산 시간 관측치를 기반으로 포크-플랑크 방정식의 해를 이용해 우도 함수를 구성한다.
• 퇴화 시 흡수 경계 조건을 적절히 처리한 유한 차분법을 사용해 포크-플랑크 방정식을 수치적으로 해결한다.
• 정확한 해가 구하기 어려운 경우 전이 밀도를 근사하기 위해 몬테카를로 방법, 특히 페더슨 및 브라운 운동 다리 추정기법을 적용한다.
• 수치적 적분 및 중요도 샘플링 기법을 사용해, 과정이 0에 도달하더라도 우도를 계산할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 퇴화로 인해 0에 흡수 상태가 존재하는 확률적 로지스틱 모델에 대해 포크-플랑크 방정식은 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 퇴화가 발생한 데이터를 다룰 때 표준 우도 기반 추정법에 어떤 수정이 필요한가?
• RQ3 정규 모델에서는 관측 가능한 것이 탄생률과 사망률의 차이뿐인 상황에서, 확률적 로지스틱 모델에서 탄생률과 사망률을 별개로 식별할 수 있는가?
• RQ4 과정이 0에 도달할 수 있는 경우, 유한 차분법와 몬테카를로 방법이 전이 밀도를 근사할 때 어떻게 비교되는가?
• RQ5 다양한 파라미터 설정 하에서 제안된 추정 방법의 편향, 분산, 수렴 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 거의 확실한 퇴화로 인해 0에서 델타 함수 질량이 존재하는 포크-플랑크 방정식이 모델에 포함되며, 이는 표준 밀도 기반 접근 방식을 넘어서는 완전한 수식이 필요함을 시사한다.
• 완전한 전이 커널에서 유도된 제안된 우도 함수는 퇴화가 관측된 데이터에서도 유효한 추론을 가능하게 한다.
• 유한 차분법는 적절한 흡수 경계 처리를 통해 포크-플랑크 방정식의 해를 성공적으로 근사한다.
• 몬테카를로 방법, 특히 브라운 운동 다리 변형은 작은 시간 간격과 흡수 상태 근처에서 우도 추정의 정확도를 향상시킨다.
• 수치 시뮬레이션은 이론적으로 모든 파라미터 $ \lambda, \mu, \alpha, \rho $ 를 일관되게 추정할 수 있음을 확인하며, 결정론적 모델에서의 식별 문제를 해결한다.
• 퇴화가 발생하는 상황에서 표준 최소 제곱법보다 제안된 방법이 뛰어나며, 이는 인구 역학적 노이즈와 퇴화 정보를 보다 효과적으로 활용하기 때문이다.