[논문 리뷰] Etude des mesures hyperboliques pour les applications meromorphes

Henry de Thélin, Franck Nguyen Van Sang|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 25.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트한 복소다양체 위에서 메로모르픽 다이나믹스의 비균일 초구형 측도에 대해 Closing Lemma를 수립하며, 카토크의 고전적 결과를 확장한다. 또한 이러한 측도들이 임의의 정밀도 이내에서 에ント로피와 측도 수렴을 보장하는 베르누이 코딩된 동역계에 의해 근사 가능하다는 것을 증명하며, 특이점을 가진 비가역 헬로모르픽 사상에 대한 기호적 다이나믹스 근사가 가능하게 한다.

ABSTRACT

We prove a Closing Lemma for nonuniformly hyperbolic measures of meromorphic maps. We prove also a theorem of approximation of the dynamics of such measures by Bernoulli coding maps.

연구 동기 및 목표

• C^{1+α} 미분형사에서 메로모르픽 사상으로의 Closing Lemma 확장을 위해 컴팩트한 복소다양체 위에서 수행한다.
• 메로모르픽 다이나믹스에서의 비가역성과 결정 불확실 집합의 과제를 다룬다.
• 비균일 초구형 측도가 베르누이 코딩된 시스템에 의해 근사 가능하다는 것을 증명한다.
• 근사 과정에서 에너지와 보렐 측도의 수렴을 확립한다.
• 기호적 다이나믹스 근사 기법을 비가역적이고 특이점을 가진 헬로모르픽 사상으로 일반화한다.

제안 방법

• 결함 집합이 있는 메로모르픽 사상에 적응된 페신 이론과 그래프 변환 기법의 사용.
• f^n ∘ S_0 = S_0 ∘ σ를 만족하는 측도적이고 연속적인 코딩 함수 S_0: {1,…,N}^ℤ → Λ_0의 구성 (여기서 σ는 시프트 사상이다).
• 베르누이 측도 λ_0에 대해 ν_0 = (S_0)_* λ_0로 정의된 측도로, h_ν_0(f^n) ≥ n(h_μ(f) - ρ)를 보장한다.
• 브린-카토크 에너지 공식을 사용하여 실린더 집합 측도를 통한 최상위 에너지 추정.
• Λ = ⋃_{l=0}^{n-1} f^l(Λ_0) 위에 지지되는 f-불변 측도 ν = (1/n)∑_{l=0}^{n-1} (f^l)_* ν_0의 구성.
• 균일 연속성에 의한 근사 증명: 모든 φ_i ∈ C^0(X,ℝ)에 대해 |∫ φ_i dν - ∫ φ_i dμ| < ρ.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정 불확실 집합과 비가역성에도 불구하고, 메로모르픽 다이나믹스에서 비균일 초구형 측도에 대해 Closing Lemma를 수립할 수 있는가?
• RQ2 비균일 초구형 측도의 역학을 베르누이 코딩을 가진 기호 시스템으로 근사할 수 있는가?
• RQ3 근사 과정에서 최상위 에너지와 측도 에너지를 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ4 근사 측도 ν가 f-불변이 되고 약한-* 위상에서 μ에 가까워지도록 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 코딩 함수 S_0가 호르세우 구조를 갖는 홈오모르피즘일 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 ρ > 0에 대해, n ≥ 1과 N = e^{h_μ(f)n - ρn}개의 기호를 가진 코딩 함수 S_0가 존재하여 h_ν_0(f^n) ≥ n(h_μ(f) - ρ)를 만족한다.
• Λ_0에 제한된 f의 최상위 에너지는 h_top(f|_Λ_0) ≥ h_μ(f) - ρ를 만족한다.
• Λ = ⋃_{l=0}^{n-1} f^l(Λ_0)는 μ의 지지 집합의 ρ-근방 내에 있다.
• f-불변 측도 ν = (1/n)∑_{l=0}^{n-1} (f^l)_* ν_0는 모든 φ_i ∈ C^0(X,ℝ)에 대해 |∫ φ_i dν - ∫ φ_i dμ| < ρ를 만족한다.
• f가 가역적이고 ∫ log d(x,I(f^{-1})) dμ(x) > -∞ 이라면, S_0는 홈오모르피즘이며 Λ는 호르세우이다.
• 근사는 효과적이다: 에너지와 측도 수렴은 ρ에 의해 제어되며, 기호 수는 N = e^{h_μ(f)n - ρn}이다.