[논문 리뷰] Euler Obstruction and Defects of Functions on Singular Varieties

Jean‐Paul Brasselet, David B. Massey외 2명|ArXiv.org|2003. 02. 19.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 5인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 특이 다양체 위의 일반적인 선형 형식 대신 특이 함수를 사용할 때 국소 유일형성 불변량이 레프셰츠 유형 공식을 만족하지 못하는 데에 기인하는 결함을 측정하는 결함 불변량 $ D_{f,X}(0) $ 을 도입한다. 이 결함이 $ f $ 의 사라지는 순환의 오일러 특성과 같음을 증명하고, 레이-보겔 수를 이용한 대수적 공식을 제시하여 고립 특이점의 경우 밀너 수와 국소 유일형성 불변량을 통합한다.

ABSTRACT

Several authors have proved Lefschetz type formulae for the local Euler obstruction. In particular, a result of this type is proved in [BLS].The formula proved in that paper turns out to be equivalent to saying that the local Euler obstruction, as a constructible function, satisfies the local Euler condition (in bivariant theory) with respect to general linear forms. The purpose of this work is to understand what prevents the local Euler obstruction of satisfying the local Euler condition with respect to functions which are singular at the considered point. This is measured by an invariant (or ``defect'') of such functions that we define below. We give an interpretation of this defect in terms of vanishing cycles, which allows us to calculate it algebraically. When the function has an isolated singularity, our invariant can be defined geometrically, via obstruction theory. We notice that this invariant unifies the usual concepts of {\it the Milnor number} of a function and of the {\it local Euler obstruction} of an analytic set.

연구 동기 및 목표

• 특이 함수에 대해 국소 유일형성 불변량이 한 점에서 국소 유일형성 조건을 만족하지 못하는 이유를 이해하는 것.
• 기울기의 올림프를 나시 변환 위의 전역 단면으로 확장할 수 없는 데에 기인하는 불변량 $ Eu_{f,X}(0) $, 즉 함수의 국소 유일형성 불변량을 정의하고 연구하는 것.
• 국소 유일형성 불변량에 대한 레프셰츠 유형 공식을 특이 함수를 포함하도록 결함 항 $ D_{f,X}(0) $ 를 도입하여 일반화하는 것.
• 유도 범주 기법과 지수 정리들을 사용하여 $ D_{f,X}(0) $ 를 사라지는 순환의 관점에서 해석하는 것.
• 특히 고립하지 않은 특이점의 경우에 대해 레이-보겔 수를 사용한 대수적 공식을 제공하여 $ D_{f,X}(0) $ 를 계산하는 것.

제안 방법

• 기울기 $ \overline{\nabla}_X f $ 의 올림프를 나시 배럴 $ \widetilde{X} $ 위의 나시 번들 전역 단면으로 확장할 수 없는 데에 기인하는 장애로써 불변량 $ Eu_{f,X}(0) $ 를 정의한다.
• 일반화된 레프셰츠 공식을 증명한다: $ Eu_X(0) = \sum_i \chi(V_i \cap \mathbb{B}_\varepsilon \cap f^{-1}(t_0)) \cdot Eu_X(V_i) + Eu_{f,X}(0) $, 이는 고립 특이점에 대해 유효하다.
• 결함 $ D_{f,X}(0) := Eu_X(0) - \sum_i \chi(V_i \cap \mathbb{B}_\varepsilon \cap f^{-1}(t_0)) \cdot Eu_X(V_i) $ 를 도입하며, 이는 고립하지 않은 특이점에 대해서도 잘 정의되어 있다.
• 브릴린스키, 두브손, 카시와라의 지수 정리를 사용하여 $ D_{f,X}(0) = -\chi(\phi_f \mathbb{C}_U^\bullet)_0 $, 즉 사라지는 순환의 오일러 특성과 같음을 보인다.
• 함수 $ f $ 의 부분 도함수의 등고선과의 반복적인 교차를 통해 코탄젠트 번들 안에 레이-보겔 순환 $ \Lambda^k_f $ 를 구성하고, 선형 부분공간과의 교차수로 레이-보겔 수 $ \lambda^k_f(0) $ 를 정의한다.
• 공식 $ D_{f,X}(0) = \sum_{k=0}^s (-1)^{d-k} \lambda^k_f(0) $ 를 증명하며, 여기서 $ s = \dim_0 \pi(\overline{T^*_{X_{\text{reg}}}U} \cap \text{im } d\widetilde{f}) $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 특이 함수 $ f $ 가 한 점에서 국소 유일형성 불변량이 국소 유일형성 조건을 만족하지 못하는가?
• RQ2 함수 $ f $ 가 고립하지 않은 특이점을 가질 경우, 오일러 불변량에 대한 레프셰츠 유형 공식의 결함을 어떻게 대수적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 사라지는 순환의 관점에서 결함 $ D_{f,X}(0) $ 의 기하학적·위상수학적 의미는 무엇인가?
• RQ4 새로운 레이-보겔 수는 고전적 레이 수를 어떻게 일반화하며, 밀너 수와 어떤 관계가 있는가?
• RQ5 불변량 $ Eu_{f,X}(0) $ 는 밀너 수와 국소 유일형성 불변량을 어떤 방식으로 통합하는가?

주요 결과

• 결함 $ D_{f,X}(0) $ 는 함수 $ f $ 의 사라지는 순환의 오일러 특성의 음수와 같으며, 즉 $ D_{f,X}(0) = -\chi(\phi_f \mathbb{C}_U^\bullet)_0 $ 이다.
• 고립 특이점의 경우 $ D_{f,X}(0) = Eu_{f,X}(0) $ 이고, 이 불변량은 부호를 제외한 밀너 수 $ \mu $ 와 일치하므로 $ D_{f,X}(0) = (-1)^d \mu $ 이다.
• 만약 $ X = \mathbb{C}^d $ 라면, 결함 $ D_{f,X}(0) $ 는 부호를 제외한 함수 $ f $ 의 밀너 수와 정확히 일치하며, 이는 두 고전적 불변량을 통합한다.
• 결함 $ D_{f,X}(0) $ 는 코탄젠트 번들 안에서의 교차 이론을 통해 정의된 레이-보겔 수 $ \lambda^k_f(0) $ 를 사용하여 대수적으로 계산되며, 공식은 $ \sum_{k=0}^s (-1)^{d-k} \lambda^k_f(0) $ 이다.
• 레이-보겔 순환 $ \Lambda^k_f $ 는 함수 $ f $ 의 미분의 그래프와의 반복적인 교차를 통해 구성되며, 그 투영은 공식에 사용되는 순환을 제공한다.
• 함수 $ f $ 가 상수일 경우 $ D_{f,X}(0) = Eu_X(0) $ 이므로, 함수에 의해 유도된 변형이 없을 때 결함이 전체 유일형성 불변량을 포괄함을 보여준다.