[논문 리뷰] Euler Systems for $\mathrm{GSp}_4 imes \mathrm{GL}_2$

Chi-Yun Hsu, Zhaorong Jin외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 25.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $p$-ordinarity를 가정할 때, $\mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$-cohomological cuspidal automorphic representation에 부착된 Galois 표현에 대한 Euler system을 구축한다. 이 구축은 Novodvorsky의 $L$-함수에 대한 적분 공식에 기반하며, 특히 $\mathrm{GSp}_4(\mathbb{Q}_\ell)$의 표현 이론—특히 다중도 수렴 결과—를 활용하여 명시적 이중 코셋 계산 없이 약한 노름 관계를 검증한다. 이는 이전의 $\mathrm{GSp}_4$ 및 $\mathrm{GL}_2$ Euler system에 대한 기법을 일반화한 것이다.

ABSTRACT

For a non-endoscopic cohomological cuspidal automorphic representation of $\mathrm{GSp}_4 imes \mathrm{GL}_2$, assumed to be $p$-ordinary, we construct an Euler system for the Galois representation associated to it. Both the construction and the verification of tame norm relations are based on Novodvorsky's integral formula for the $L$-function of $\mathrm{GSp}_4 imes \mathrm{GL}_2$.

연구 동기 및 목표

• 비내재적(non-endoscopic), $p$-ordinarily, cohomological cuspidal automorphic representation of $\mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$에 부착된 Galois 표현에 대한 Euler system을 구축하는 것.
• Euler system에 요구되는 약한 노름 관계를 명시적 이중 코셋 계산 없이 국소 표현 이론 기법을 사용하여 검증하는 것.
• Loeffler, Skinner, Zerbes의 방법—$\mathrm{SO}_4$-불변 함수형에 대한 다중도 수렴에 기반—을 $\mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$ 설정으로 확장하는 것.
• 기호 사상과 아이젠슈타인 클래스를 통해 다양한 수준에서의 정수성과 호환성을 확립하는 것.
• cohomological pushforwards와 $L$-함수 적분 공식을 사용하여 고차원 $\mathrm{GSp}_4$-관련 자동형 설정에서 Euler system을 체계적으로 구축하는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• Euler system 원소를 구축하기 위한 기본 입력으로 $\mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$의 $L$-함수에 대한 Novodvorsky의 적분 공식을 사용한다.
• 에테일 실현을 통해 모듈러 곡선의 코homology 클래스를 Galois 코hom로 연결하기 위해 유한 및 무한 수준에서 기호 사상을 적용한다.
• $\mathrm{GL}_2$의 아이젠슈타인 클래스와 그 $\mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$ 쇼우라 다양체로의 푸시포워드를 사용하여 모티빅 코homology 클래스를 생성한다.
• $\mathrm{SO}_4(\mathbb{Q}_\ell)$-불변 함수형에 대한 다중도 정리들을 활용하여, 약한 노름 관계의 검증을 국소 문제로 환원한다.
• 공액성 보조정리와 이중 코셋 분해를 사용하여 $J_k^i$-집합의 대표자들 위에서의 합을 계산하고, 서로 다른 사이클 클래스들 간의 관계를 규명한다.
• Hochschild–Serre 스펙트럴 시퀀스를 적용하여 모티빅 코호모로지 클래스를 Galois 코호모로지로 올려, 노름 사상과의 호환성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비내재적, $p$-ordinarily, cohomological cuspidal automorphic representation of $\mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$에 대한 Galois 표현에 대해 Euler system을 구축할 수 있는가?
• RQ2 명시적 이중 코셋 계산 없이 $\mathrm{GSp}_4$에서 약한 노름 관계를 검증할 수 있는가?
• RQ3 $\mathrm{SO}_4$-불변 함수형에 대한 국소 다중도 결과가 $\mathrm{GSp}_4$-표현에서 전역 노름 호환성을 국소 문장으로 환원하는 데 얼마나 활용될 수 있는가?
• RQ4 기호 사상과 아이젠슈타인 클래스는 $\mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$ 설정에서 수준 상승과 기저 변경에 대해 어떻게 행동하는가?
• RQ5 $J_k^i$ 위에서의 사이클 클래스 합의 정확한 구조는 무엇이며, Euler system의 노름 관계와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2$-쇼우라 다양체의 에테일 코호모로지에서 Galois 코호모로지 클래스를 구축하였으며, 이는 요구되는 노름 관계를 만족하여 Euler system을 이룬다.
• 약한 노름 관계는 국소 다중도 수렴 논증을 통해 검증된다: 관련된 $\mathrm{GSp}_4(\mathbb{Q}_\ell)$-표현에서 $\mathrm{SO}_4(\mathbb{Q}_\ell)$-불변 함수형의 공간의 차원은 1 이하이므로, 전역 문제를 국소 계산으로 환원할 수 있다.
• $\sum_{\eta \in J_5^1} \mathfrak{Z}(\eta)$ 는 $\ell \cdot \sum_{x=0}^{\ell-1} \sum_{y=0}^{\ell^2-1} \mathfrak{Z}(\eta^{\ell x,y,0}_{2,0}) + \ell(\ell-1) \cdot \sum_{x=0}^{\ell-1} \sum_{y=0}^{\ell^2-1} \mathfrak{Z}(\eta^{\ell x,y,1}_{2,1})$ 와 같음을 보여, 노름 호환성의 핵심 단계를 확립한다.
• $\sum_{\eta \in J_5^2} \mathfrak{Z}(\eta)$ 는 $\ell \cdot \sum_{x=0}^{\ell-1} \sum_{y=0}^{\ell^2-1} \mathfrak{Z}(\iota^{\ell x,y,0}_{2,0})$ 와 같으며, 이는 $\sum_{\eta \in J_5^3} \mathfrak{Z}(\eta)$ 와도 동일시됨을 보여, 서로 다른 사이클 유형 간의 일관성을 확인한다.
• $\sum_{\eta \in J_6} \mathfrak{Z}(\eta)$ 는 $\mathfrak{Z}(\eta^{0,0,0}_{0,0}) + (\ell^2 - 1) \cdot \mathfrak{Z}(\eta^{1,0,0}_{1,0}) + \ell^2(\ell^2 - 1) \cdot \mathfrak{Z}(\eta^{1,0,0}_{2,0})$ 로 계산되며, 이는 $x,y$ 가 $\ell$ 모듈로에서의 나눗셈 조건에 의해 유도된다.
• 최종 결과로 Euler system 원소들이 요구되는 노름 관계를 만족함을 확인하였으며, 핵심 기여는 표현 이론적 환원을 통해 번거로운 이중 코셋 계산을 피한 것이다.