[논문 리뷰] Evaluating the incompleteness magnitude using an unbiased estimate of the $b$ value

C. Godano, Giuseppe Petrillo외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 07.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한한 표본 크기로 인한 $b$-값 추정기의 편향과 고르베르크-리히터(Gutenberg-Richter, GR) 법칙에서의 이탈을 활용하여 지진 목록의 완전성 마그니튜드 $m_c$를 추정하는 새로운 방법을 제안한다. 편향을 magnitude의 변동계수(CV)의 제곱에 비례하는 것으로 모델링함으로써, 진짜 GR 분포를 나타내는 지점인 $CV = 1$에서 $m_c$를 식별한다. 이 방법은 시뮬레이션 목록에서 검증되었으며, 캘리포니아 남부, 일본, 뉴질랜드의 실제 데이터에 적용되었으며, 기존 방법들보다 더 뛰어난 강건성을 보였다.

ABSTRACT

The evaluation of the $b$ value of the Gutenberg-Richter (GR) law, for a sample composed of $n$ earthquakes, presents a systematic positive bias $δb$ which is proportional to $1/n$, as already observed by Ogata \& Yamashina (1986). In this study we show how to incorporate in $δb$ the bias introduced by deviations from the GR law. More precisely we show that $δb$ is proportional to the square of the variability coefficient $CV$, defined as the ratio between {the standard deviation of the magnitude distribution and its mean value.} When the magnitude distribution follows the GR law $CV=1$ and this allows us to introduce a new procedure, based on the dependence of $b$ on $n$, which allows us to {identify} the incompleteness magnitude $m_c$ as the threshold magnitude leading to $CV=1$. The method is tested on synthetic catalogs and it is applied to estimate $m_c$ in Southern California, Japan and New Zealand.

연구 동기 및 목표

• 유한한 표본 크기와 GR 법칙에서의 이탈로 인한 $b$-값 추정의 체계적 편향을 다루기 위해.
• 평균의 안정성 외에 magnitude 분포의 고차원 모멘트를 통합함으로써 $m_c$ 추정의 정확도를 향상시키기 위해.
• 전체 분포 피팅이나 임의의 임계값에 의존하지 않는 강건하고 데이터 기반의 $m_c$ 식별 방법을 제공하기 위해.
• 이 방법을 시뮬레이션 목록과 캘리포니아 남부, 일본, 뉴질랜드의 실제 지진 데이터에 적용하기 위해.
• $CV = 1$이 진짜 GR 영역를 나타내는 신뢰할 수 있는 지표임을 보여주며, 정밀한 $m_c$ 탐지가 가능하다는 것을 입증하기 위해.

제안 방법

• 중앙극한정리에 기반하여 $b$-값 추정기의 편향을 유도함으로써, 이 편향이 $1/n$ 비례로 증가하고 magnitude의 변동계수(CV)에 의존함을 보여줌.
• $y_n(m_{th}) = CV^2$로 정의함. 여기서 $CV$는 임계값 $m_{th}$ 이상의 magnitude의 표준편차와 평균의 비율이며, $m_c$ 식별을 위해 이 값의 포화를 사용함.
• 이론적 예측에 따르면 진짜 GR 분포에서는 $\langle b_n \rangle = b(1 + 1/n)$이며, $n \to \infty$일 때 $y_n(m_{th}) \to 1$임.
• 이 방법은 $y_n(m_{th})$가 $CV^2 = 1$에서 안정화되는 magnitude $m_{th}$를 $m_c$로 식별함으로써, 진짜 GR 분포의 시작점을 나타냄.
• $m_{th}$ 값에 따라 $\langle b_n \rangle$와 $y_n(m_{th})$의 행동을 비교함으로써, 불완전한 분포에서 완전한 분포로의 전이를 탐지함.
• 이 방법은 시뮬레이션 목록에서 검증되었으며, 캘리포니아 남부, 일본, 뉴질랜드의 실제 지진 목록에 적용됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 표본 크기로 인한 $b$-값 추정의 편향이 지진 magnitude 분포에서 GR 법칙에서의 이탈과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 magnitude의 변동계수(CV)가 완전성 마그니튜드 $m_c$를 신뢰할 수 있는 지표로 사용될 수 있는가?
• RQ3 $CV^2$의 1에서의 포화가 전통적인 $b$-값 안정성 방법보다 더 강건한 $m_c$ 기준을 제공하는가?
• RQ4 다양한 지진 지역에서 기존의 $m_c$ 추정 기법과 비교할 때, 제안된 방법은 정확도와 안정성 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 이 방법은 $y_n(m_{th})$ 행동의 이탈을 통해 데이터 품질 문제나 목록의 불완전성을 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 체계적 편향은 $1/n$ 비례이며, magnitude 분포의 변동계수($CV^2$)의 제곱에도 의존함.
• Magnitude 분포가 진짜 GR 법칙을 따를 경우 $CV = 1$이며, $n$이 매우 클 때 $y_n(m_{th}) = CV^2$는 1에 포화됨. 이는 $m_c$ 탐지에 명확한 목표를 제공함.
• 이 방법은 $y_n(m_{th})$가 $CV^2 = 1$에서 안정화되는 $m_{th}$를 탐지함으로써 시뮬레이션 목록에서 $m_c$를 성공적으로 식별함. 이는 평균만을 고려하는 기존의 $b$-값 안정성 방법보다 뛰어남.
• 실제 데이터에서는 캘리포니아 남부에서 $m_c \approx 2.5$, 일본에서 $m_c \approx 3.0$, 뉴질랜드에서 $m_c \approx 2.0$로 식별되었으며, 알려진 목록 특성과 일치함.
• $y_n(m_{th})$ 대 $1/n$의 시각적 점검을 통해 일본 목록에서 GR 법칙을 따르지 않는 행동이 드러나며, 이는 단지 $b$-값 안정성으로는 탐지되지 않는 데이터 품질 문제임.
• 이 방법은 첫 번째 및 두 번째 모멘트를 통합한 통계적으로 탄탄한 기반을 제공하는 moment 기반의 $m_c$ 기준을 제공함으로써 강건성을 향상시킴.