[논문 리뷰] Even ordinals and the Kunen inconsistency

Gabriel Goldberg|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 01.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선택공리 없이 ZF 집합론에서 쿤엔 불일치를 초월하는 큰 기수의 구조를 조사하며, 특히 짝수 순서수와 랭크-인-랭크 임베딩에 초점을 맞춘다. 논문은 짝수와 홀수 랭크 간의 정의 가능성 성질에 주기적인 번갈아함을 규명하고, $V_{\lambda+3}$ 상의 초월적 임베딩이 ZFC + $I_0$의 일致성을 암시함을 증명하며, $V_{\lambda+2}$ 상의 이러한 임베딩의 존재성이 $L(V_{\lambda+2})$ 내의 임베딩과 동치일 뿐만 아니라, 선택 없는 큰 기수 이론과 케톤엔 순서의 이론을 발전시킨다.

ABSTRACT

This paper contributes to the theory of large cardinals beyond the Kunen inconsistency, or choiceless large cardinal axioms, in the context where the Axiom of Choice is not assumed. The first part of the paper investigates a periodicity phenomenon: assuming choiceless large cardinal axioms, the properties of the cumulative hierarchy turn out to alternate between even and odd ranks. The second part of the paper explores the structure of ultrafilters under choiceless large cardinal axioms, exploiting the fact that these axioms imply a weak form of the author's Ultrapower Axiom. The third and final part of the paper examines the consistency strength of choiceless large cardinals, including a proof that assuming DC, the existence of an elementary embedding from $V_{λ+3}$ to $V_{λ+3}$ implies the consistency of ZFC + $I_0$. By a recent result of Schlutzenberg, an elementary embedding from $V_{λ+2}$ to $V_{λ+2}$ does not suffice.

연구 동기 및 목표

• 선택공리 없이 쿤엔 불일치를 초월하는 선택 없는 큰 기수 이론을 발전시키며, 특히 $n \geq 2$에 대해 $j:V_{\lambda+n} \to V_{\lambda+n}$ 형태의 임베딩에 집중한다.
• 선택공리 없는 큰 기수 공리 아래 누적계층에서 짝수와 홀수 랭크 간의 정의 가능성 성질의 주기적 번갈아함을 조사한다.
• 임베딩이 $V_{\lambda+2}$ 상에 존재할 때와 내부 모델 $L(V_{\lambda+2})$ 내에서 존재할 때의 동치성을 확립한다.
• 초월적 임베딩 $j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$의 존재가 DC를 가정할 경우 ZFC + $I_0$의 일치성을 암시함을 증명한다.
• 선택공리의 부재 하에서 초월자와 케톤엔 순서의 구조를 분석하며, DC 하에서 잘서수성과 비반사성을 증명한다.

제안 방법

• 짝수와 홀수 순서수의 개념을 도입하며, 한계 순서수 $\lambda$와 $n \in \omega$에 대해 $\alpha = \lambda + 2n$로 정의하여 정의 가능성의 주기성을 연구한다.
• 선택공리 없는 큰 기수 공리 하에서 초월자 구조를 분석하기 위해 약한 형태의 초월자 근본원리를 적용한다.
• 필터 감소와 비교를 사용하여 케톤엔 순서를 지정된 필터로 일반화하고, 그 잘서수성을 분석한다.
• $\sigma$-사상과 그 유도된 필터 수열을 사용하여 감소와 비교를 특성화하고, 이를 케톤엔 순서와 연결한다.
• 임베딩 $j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$가 존재하면 $V_{\lambda+1}$의 모든 부분집합이 샤프를 가진다는 원리를 적용하여 일致성 강도 결과를 도출한다.
• 초월자에 대한 내부 관계 $\sqsubset$ 를 사용하며, 거의 전부에서 순서수를 지배하는 함수를 기반으로 한 모순 증명을 통해 그 비반사성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선택공리 없는 큰 기수 공리 하에서 누적계층에서 짝수 랭크와 홀수 랭크에서 초월적 임베딩의 정의 가능성에 어떤 주기적 패턴이 나타나는가?
• RQ2 초월적 임베딩이 존재할 경우 $V_{\lambda+2}$와 $V_{\lambda+3}$의 구조적 성질는 어떻게 다를까? 그리고 그 일치성 강도는 어떠한가?
• RQ3 초월적 임베딩 $j:V_{\lambda+2} \to V_{\lambda+2}$의 존재성이 $\lambda$ 이하의 임계점을 가진 $L(V_{\lambda+2})$ 내의 임베딩과 동치일까?
• RQ4 초월적 임베딩 $j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$의 존재가 의존 선택 공리 하에서 ZFC + $I_0$의 일치성을 암시할까?
• RQ5 ZF + DC 하에서 필터와 초월자에 대한 케톤엔 순서가 잘서수성과 비반사성을 갖는지 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 순서수 $\epsilon$ 가 짝수일 경우, $V_\epsilon$ 에서 $V_\epsilon$ 로의 비자명한 초월적 임베딩은 $V_\epsilon$ 상에서 정의 가능하지 않다.
• 순서수 $\epsilon$ 가 짝수일 경우, $V_{\epsilon+1}$ 에서 $V_{\epsilon+1}$ 로의 모든 초월적 임베딩은 $V_{\epsilon+1}$ 상에서 정의 가능하다.
• DC를 가정할 경우, 초월적 임베딩 $j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$의 존재는 ZFC + $I_0$의 일치성을 암시한다.
• 초월적 임베딩 $j:V_{\lambda+2} \to V_{\lambda+2}$의 존재는 $L(V_{\lambda+2})$ 내에서 임계점이 $\lambda$ 이하인 초월적 임베딩의 존재와 동치이다.
• DC 하에서 필터에 대한 케톤엔 순서는 잘서수적이며, 가산완비 초월자에 대해 내부 관계 $\sqsubset$ 는 비반사적이다.
• 임계점을 가진 초월자 $U$ 에 대해 $U \not\sqsubset U$ 이므로 내부 관계의 비반사성이 증명된다.