[논문 리뷰] Exact and Efficient Hamilton-Jacobi Reachability for Decoupled Systems

Mo Chen, Claire J. Tomlin|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 19.

Spacecraft Dynamics and Control참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간 불변이며 분리 가능한 시스템에 대해 정확하고 효율적인 해밀턴-자코비 도달 가능성 방법을 제시한다. 이는 하위차원 HJ PDE를 독립적으로 풀고 전체 고차원 해를 근사 없이 재구성함으로써 달성된다. 이 방법은 기존의 복잡도-최적성 상충 관계를 제거하여, 분리 가능한 동역학을 갖는 시스템에서 계산 비용을 크게 감소시키면서도 정확한 도달 집합 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Reachability analysis is important for studying optimal control problems and differential games, which are powerful theoretical tools for analyzing and modeling many practical problems in robotics, aircraft control, among other application areas. In reachability analysis, one is interested in computing the reachable set, defined as the set of states from which there exists a control, despite the worst disturbance, that can drive the system into a set of target states. The target states can be used to model either unsafe or desirable configurations, depending on the application. Many Hamilton-Jacobi formulations allow the computation of reachable sets; however, due to the exponential complexity scaling in computation time and space, problems involving approximately 5 dimensions become intractable. A number of methods that compute an approximate solution exist in the literature, but these methods trade off complexity for optimality. In this paper, we eliminate complexity-optimality trade-offs for time-invariant decoupled systems using a decoupled Hamilton-Jacobi formulation that enables the exact reconstruction of high dimensional solutions via low dimensional solutions of the decoupled subsystems. Our formulation is compatible with existing numerical tools, and we show the accuracy, computation benefits, and an application of our novel approach using two numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 고차원 시스템에서 해밀턴-자코비 도달 가능성의 지수적 계산 복잡도를 해결하기 위해.
• 도달 가능성 분석에서 계산 복잡도와 해의 최적성 간의 상충 관계를 제거하기 위해.
• 분리 가능한 하위시스템의 해를 사용하여 고차원 도달 집합을 정확히 재구성하는 방법을 개발하기 위해.
• 기존 수치 도구와의 호환성을 유지하면서 계산 시간과 메모리 사용량을 크게 줄이기 위해.
• 분리 가능한 동역학을 포함하는 수치 예제를 통해 방법의 정확성과 효율성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 원래의 고차원 해밀턴-자코비 PDE를 각 분리 가능한 하위시스템에 대해 독립적인 하위차원 PDE로 분해한다.
• 분리 가능한 동역학의 구조를 활용하여 해밀턴-자코비 PDE가 시간에 의존하지 않거나 표준 해밀턴-자코비 형태로 축소되는 상태공간 영역을 정의한다.
• 해의 재구성은 집합 𝒻₁(t)과 𝒻₂(t)의 성질을 이용하여 하위시스템의 값 함수를 조합함으로써 정확히 수행된다. 이 집합들은 해밀턴함수의 부호에 따라 상태공간을 분할한다.
• 이 방법은 이러한 집합들이 시간에 따라 불변임을 증명한 연속성 및 모순에 기반한 증명을 통해 기반한다. 이는 점근적 해의 기울기에 대한 점성해의 성질을 활용한다.
• L1000 및 레벨셋 도구상의 표준 HJ 해석기와의 호환성을 확보하여 실용적 구현을 가능하게 한다.
• 종단 조건 l(z)을 사용하여 목표 집합을 정의하고, 역행 도달 집합을 값 함수 V(t,z)의 하위레벨 집합으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 도달 집합을 계산할 수 있는가? 고차원 분리 가능한 시스템에서 계산 효율성을 희생하지 않고도.
• RQ2 고차원 HJ PDE를 정확도를 유지하면서 독립적인 하위차원 PDE로 분해할 수 있는가?
• RQ3 분리 가능한 하위시스템의 해를 바탕으로 전체 HJ PDE의 해를 정확히 재구성할 수 있는가?
• RQ4 어떤 구조적 성질이 분리 가능한 시스템에서 정확하고 효율적인 도달 가능성 계산을 가능하게 하는가?
• RQ5 제안된 방법이 근사 도달 가능성 방법에 내재된 복잡도-최적성 상충 관계를 제거하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 고차원 전체 HJ PDE의 해를 하위차원 하위시스템의 해만을 사용하여 정확히 재구성한다.
• 전체 차원 그리드를 피하는 것으로 인해 계산 시간과 메모리 사용량에 있어 뚜렷한 감소 효과를 달성한다.
• 해는 정확하고 최적적이며, 고차원 도달 가능성에서 흔히 발생하는 근사 기법에 의한 보수성(conservatism)을 피한다.
• 집합 𝒻₁(t)과 𝒻₂(t)의 시간에 따른 불변성은 분해가 일관되며 정확한 재구성을 가능하게 한다.
• 수치 예제들은 제안된 방법의 정확성과 기존 표준 HJ 도달 가능성 접근법 대비 계산적 이점들을 입증한다.
• 이 방법은 기존 수치 도구와 호환되어 로봇공학 및 제어 응용 분야에서 실용적인 구현이 가능하다.