[논문 리뷰] Exact Pricing and Hedging Formulas of Long Dated Variance Swaps under a $3/2$ Volatility Model

Leunglung Chan, Eckhard Platen|RePEc: Research Papers in Economics|2010. 07. 18.

Stochastic processes and financial applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 등가 위험중립 측도가 필요 없도록, 벤치마크 접근법을 사용하여 $3/2$ 확률적 변동성 모형 하에서 장기 만기 변동성 스왑의 정확한 해석적 가격 및 헤징 공식을 유도한다. 주요 기여는 쌍곡형 조화함수와 제곱 베셀 과정을 포함하는 명시적 폐형 해를 제공함으로써, 위험중립 측도가 존재하지 않을 경우에도 최소 가격을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper investigates the pricing and hedging of variance swaps under a $3/2$ volatility model. Explicit pricing and hedging formulas of variance swaps are obtained under the benchmark approach, which only requires the existence of the numéraire portfolio. The growth optimal portfolio is the numéraire portfolio and used as numéraire together with the real world probability measure as pricing measure. This pricing concept provides minimal prices for variance swaps even when an equivalent risk neutral probability measure does not exist.

연구 동기 및 목표

• 등가 위험중립 측도가 존재하지 않는 $3/2$ 변동성 모형 하에서 변동성 스왑에 대한 강력한 가격 및 헤징 프레임워크를 개발하기 위해.
• 성장 최적 포트폴리오를 니아라로 사용하는 벤치마크 접근법을 확장하여 변동성 스왑 가격 결정에 활용함으로써, 위험중립 측도가 필요 없이 최소 가격을 보장하기 위해.
• 실세계 $3/2$ 모형 하에서 변동성 스왑 가격과 그 바이오 감도에 대한 명시적 해석적 공식을 도출하기 위해.
• 실제 매개변수 추정치와 만기 의존적 스왑 수익률을 사용하여 모델의 校정 및 수치 성능를 시연하기 위해.

제안 방법

• 성장 최적 포트폴리오를 니아라로 사용하고 실세계 확률 측도를 사용하여 가격을 산정함으로써, 등가 마팅글 측도가 필요 없도록 벤치마크 접근법을 적용함.
• 변동성 과정의 동역학은 시간에 따라 변화하는 매개변수를 가진 제곱 베셀 과정을 따르는 $3/2$ 모형을 따름.
• 변동성 스왑의 가격 공식은 통합된 역변동성의 기대값을 계산하여 도출되며, 이는 쌍곡형 조화함수와 무한 급수 전개를 통해 표현됨.
• 해결 과정은 수정된 베셀 함수와 일반화된 하이퍼기하함수 $_2F_2$를 포함하는 형태로 기대값을 변환함.
• 변동성 매개변수 $y$에 대한 미분을 통해 변동성 스왑의 바이오를 계산하며, 체인 룰과 하이퍼기하급수의 도함수를 사용함.
• 교정된 매개변수($b = \eta$, $a_1 = b$, $\gamma = 0.0137$)를 사용하여 수치 결과를 생성하고, 벤치마크 및 위험중립 접근법 간 비교 분석을 수행함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등가 위험중립 측도가 존재하지 않을 경우, $3/2$ 변동성 모형 하에서 변동성 스왑에 대한 정확한 해석적 가격 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 벤치마크 접근법은 $3/2$ 모형 하에서 변동성 스왑 가격 결정에 있어 전통적인 위험중립 접근법과 비교하여 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ3 실세계 $3/2$ 모형 하에서 변동성 스왑 가격과 그 바이오의 해석적 구조는 어떠한가?
• RQ4 가격 결과는 다양한 만기 및 매개변수 값에서 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 벤치마크 접근법은 등가 위험중립 측도가 존재하지 않을 경우에도 $3/2$ 모형 하에서 변동성 스왑에 대해 최소 가격을 제공한다.
• 쌍곡형 조화함수와 $_2F_2$ 하이퍼기하함수를 포함하는 무한 급수를 사용하여 명시적 폐형 가격 공식이 도출됨.
• 만기 0.25년일 경우, 벤치마크 접근법은 위험중립 수익률 0.480415보다 훨씬 낮은 0.137767의 변동성 스왑 수익률을 도출함.
• 만기가 증가함에 따라 벤치마크와 위험중립 수익률 간 격차는 좁아짐: 2년일 경우 벤치마크 수익률은 0.360989이며, 위험중립 가격은 0.290785임.
• 변동성 스왑의 바이오는 변동성 매개변수 $y$에 대한 함수로 해석적으로 도출되었으며, 도함수는 하이퍼기하급수의 도함수로 표현됨.
• 모델은 실측 매개변수($\gamma = 0.0137$, $b = \eta$, $a_1 = b$)를 사용하여 교정되었으며, 수치 결과는 유도된 공식의 안정성과 수렴성을 확인함.