[논문 리뷰] Examples of $H$-hypersurfaces in $H^n \ imes R$ and geometric applications

Pierre Bérard, Ricardo Sá Earp|arXiv (Cornell University)|2009. 02. 10.

Geometric Analysis and Curvature Flows인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^n \times \mathbb{R}$에서의 회전 및 이동 대칭성을 이용하여 일정 평균 곡률(CMC) 초곡면의 명시적 예를 구성한다. $0 < H \leq \frac{n-1}{n}$인 경우에 대해 회전 $H$-초곡면을 분류하고, 전체 수직 그래프와 임베딩된 실린더의 존재를 증명하며, 평균볼록이 아닌 영역 위에 완전하지 않은 비전체 그래프를 구성한다. 또한 이러한 초곡면을 바리에어로 활용하여, 수직 $H$-그래프 및 평행 슬라이스에 경계가 있는 컴acts $H$-초곡면에 대한 존재성, 대칭성, 유일성 결과를 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we describe all rotation $H$-hypersurfaces in $H^n \ imes R$ and use them as barriers to prove existence and characterization of certain vertical $H$-graphs and to give symmetry and uniqueness results for compact $H$-hypersurfaces whose boundary is one or two parallel submanifolds in slices. We also describe examples of translation $H$-hypersurfaces in $H^n \ imes R$. For $n&gt;2$ we obtain a complete embedded translation hypersurface generated by a compact, simple, strictly convex curve. When $0 &lt; H &lt; \\frac{n-1}{n}$ we obtain a complete non-entire vertical graph over the non-mean convex domain bounded by an equidistant hypersurface taking infinite boundary value data and infinite asymptotic boundary value data.

연구 동기 및 목표

• 일정 평균 곡률 $H > 0$에 대해 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$에서의 회전 $H$-초곡면을 분류하는 것.
• 완전한 임베딩된 표면과 비전체 수직 그래프를 포함한 이동 $H$-초곡면의 예를 구성하는 것.
• 회전 $H$-초곡면을 바리에어로 활용하여, 수직 $H$-그래프 및 평행 슬라이스에 경계가 있는 컴팩트 $H$-초곡면에 대한 존재성 및 유일성 결과를 확립하는 것.
• 2차원에서의 CMC 초곡면 결과를 $n \geq 2$ 차원으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 유량 공식을 이용하여 회전 $H$-초곡면의 평균 곡률 방정식을 유도하고, 생성 곡선 $\lambda(\rho)$에 대한 해당 미분방정식을 해결한다.
• 해의 존재성과 행동을 분석하기 위해 보조 함수 $I_m(t)$, $M_{H,d}(t)$, $P_{H,d}(t)$, $Q_{H,d}(t)$를 도입한다.
• 수직 유량 공식 $\Delta_M h_M = n \widehat{g}(\overrightarrow{H}, \partial_t)$을 적용하여, 회전 $H$-초곡면을 지배하는 핵심 미분방정식을 유도한다.
• 회전 $H$-초곡면의 기하학적 분류를 활용하여, 평행 슬라이스에 경계가 있는 컴팩트 $H$-초곡면에 대한 대칭성 및 유일성 결과를 증명한다.
• 이동 불변성 하에서 일정 평균 곡률 방정식을 풀어 완전한 이동 $H$-초곡면을 구성함으로써, 임베딩된 표면과 비전체 그래프를 얻는다.
• 회전 $H$-초곡면 $\mathcal{S}_H$를 바리에어로 활용하여, 유계 영역 위에 수직 $H$-그래프의 존재성 및 특성에 대한 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $0 < H \leq \frac{n-1}{n}$인 경우 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$에서의 완전한 회전 $H$-초곡면의 완전한 분류 및 기하적 성질은 무엇인가요?
• RQ2 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$에서 완전한 이동 $H$-초곡면을 구성할 수 있으며, 그 기하적 특징은 무엇인가요?
• RQ3 어떻게 회전 $H$-초곡면이 수직 $H$-그래프 및 평행 슬라이스에 경계가 있는 컴팩트 $H$-초곡면에 대한 존재성 및 유일성 결과를 증명하는 바리에어로 기능할 수 있나요?
• RQ4 $H = \frac{n-1}{n}$인 경우 회전 $H$-초곡면의 높이 함수의 점점 가까운 행동은 어떻게 되나요?
• RQ5 비평균볼록 영역 위에 무한한 경계와 점점 가까운 경계 데이터를 갖는 완전하지 않은 비전체 수직 그래프가 존재하는 조건은 무엇인가요?

주요 결과

• $0 < H \leq \frac{n-1}{n}$일 때, $\mathbb{H}^n$ 위에 전체 수직 그래프인 완전하고 단순연결된 회전 $H$-초곡면 $\mathcal{S}_H$가 존재한다.
• $H = \frac{n-1}{n}$일 때, $\mathcal{S}_H$의 높이 함수의 점점 가까운 행동은 지수적이고, 오직 차원 $n \geq 3$에 의존한다.
• $n \geq 3$ 이고 $H = \frac{n-1}{n}$일 때, 컴팩트하고 단순적이며 엄밀히 볼록한 곡선으로 생성되는 완전한 임베딩된 이동 초곡면이 존재한다.
• $0 < H < \frac{n-1}{n}$일 때, 등거리 초곡면 $\Gamma$로 둘러싸인 비평균볼록 영역 위에 완전하지 않은 비전체 수직 그래프가 존재하며, $\Gamma$에서 무한한 경계 값 데이터와 무한한 점점 가까운 경계 값 데이터를 갖는다.
• 회전 $H$-초곡면 $\mathcal{S}_H$는 $0 < H \leq \frac{n-1}{n}$인 경우 적절한 유계 영역 위에 수직 $H$-그래프의 존재성 및 특성에 대한 증명에 바리에어로 기능한다.
• 경계가 하나 또는 두 개의 평행 슬라이스에 있는 컴팩트 $H$-초곡면은 주어진 기하학적 조건 하에서 대칭적이고 유일함이 입증된다.