[논문 리뷰] Existence and continuation of solutions of Hilfer fractional differential equations

D. B. Dhaigude, Sandeep P. Bhairat|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 08.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 7인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 고정점 기법과 적분 재구성 방법을 사용하여 힐러 분수계 미분방정식의 국소적 존재성 및 연속성 정리를 수립한다. 리프시츠 조건과 성장 조건 하에서 전역 존재성을 증명하며, 힐러 연산자를 통해 리만-리우빌 도함수와 카푸토 도함수의 프레임워크를 통합함으로써 이전 결과를 일반화한다. 이는 양자유형 사이를 보간하는 힐러 도함수를 통해 이루어진다.

ABSTRACT

In this paper we study the existence and continuation of solution to general fractional differential equation with Hilfer fractional derivative. First we establish new local existence theorems. Then we derive the continuation theorems. With the help of continuation theorems derived in this paper, several global existence results are constructed.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 초기 조건을 가진 힐러 분수계 미분방정식에 대한 국소적 존재 정리를 수립하기 위해.
• 모든 구간 [0, ∞) 에서 국소해를 전역해로 연장하는 연속성 정리를 유도하기 위해.
• 힐러 도함수 프레임워크 아래에서 리만-리우빌 및 카푸토 분수계 방정식에 대한 기존 결과를 통합함으로써 이를 일반화하기 위해.
• 공간 $ C_{1-eta}[0,\infty) $ 내에서 전역 존재성 및 유일성을 보장하는 충분한 조건을 제공하기 위해.
• 분수계 역학을 포함한 실질적 문제에서 연속성 정리의 적용 가능성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 힐러 분수계 도함수 $ D_{0^+}^{eta,eta} $ 를 사용하여 초기값 문제를 설정한다. 이 도함수는 리만-리우빌 도함수와 카푸토 도함수 사이를 보간한다.
• 리만-리우빌 분수계 적분과 힐러 도함수의 정의를 사용하여 미분방정식을 등가의 적분방정식으로 변환한다.
• 가중치 공간 $ C_{1-eta}[0,T] $ 내에서 고정점 정리를 적용하여 해의 국소적 존재성을 증명한다.
• 해의 연산자에 대한 연속성과 유계성을 이용하여, 해가 임의의 유한 간격을 초월해 연장될 수 있도록 하는 연속성 정리를 유도한다.
• 레마 4.2(분수적 적분에 대한 그론발라 타입 부등식)를 적용하여 가중치 노름 $ t^{1-eta}|x(t)| $ 를 유계로 제한함으로써, 유한 간격에서의 유계성을 확보한다.
• 해가 임의의 간격 $[\tau, \nu)$ 에서 유계로 유지될 경우 $ \nu = \infty $ 임을 보여 전역 존재성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐러 분수계 미분방정식의 해가 국소적으로 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 어떻게 하면 [0, ∞) 에서 국소해를 전역해로 연장할 수 있는가?
• RQ3 힐러 도함수에 대한 연속성 정리는 리만-리우빌 및 카푸토 도함수에 대한 것들과 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 어떤 성장 조건 또는 리프시츠 조건이 $ C_{1-eta}[0,\infty) $ 내에서 전역 존재성 및 유일성을 보장하는가?
• RQ5 힐러 도함수는 점탄성 물질을 모델링할 때 카푸토 도함수와 리만-리우빌 도함수의 물리적 모순을 어떻게 해결하는가?

주요 결과

• 가중치 공간 $ C_{1-eta}[0,T] $ 내에서 고정점 논증을 통해 힐러 분수계 초기값문제의 국소적 해 존재성이 입증된다.
• 연속성 정리 2는 어떤 $ \tau > 0 $ 에 대해 해가 $[\tau, \nu)$ 에서 유계일 경우 $ \nu = \infty $ 임을 보여 전역 존재성을 암시한다.
• 성장 조건 $ |f(t,x)| \leq l(t)m(|x|) + p(t) $ 이며 $ m(r) \leq r $ 인 조건 하에서, 분수적 그론발라 타입 부등식을 사용하여 전역 존재성이 증명된다.
• 리프시츠 조건 $ |f(t,x) - f(t,y)| \leq l(t)|x - y| $ 하에서 해가 $ C_{1-eta}[0,\infty) $ 에 속할 경우 전역 해의 유일성이 입증된다.
• 기존 리만-리우빌 및 카푸토 초기값문제에 대한 결과는 이들이 각각 $ \beta = 0 $ 및 $ \beta = 1 $ 일 때 특수한 경우로 복원됨을 통해 일반화된다.
• 연속성 정리가 이전 결과보다 실질적 문제에 더 널리 적용 가능하다는 것이 입증되었으며, 이는 해가 유계일 경우에 적용 가능하기 때문이다.