[논문 리뷰] Existence and Exponential Growth of Global Classical Solutions to the Compressible Navier-Stokes Equations with Slip Boundary Conditions in 3D Bounded Domains

Guocai Cai, Jing Li|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 12.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 35인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 경계가 유한한 유한한 영역에서 3D 압축성 라우아르-스트로스 방정식에 대한 슬립 경계 조건을 만족하는 고전적 해의 전역 존재성과 밀도가 진공을 포함하는 초기 조건에서도 지수적 증가를 보이는 것을 입증한다. 작은 초깃ener지 조건 하에서 에너지 방법을 적응하고 새로운 경계 적분 추정을 유도함으로써, 고전적 해가 전역적으로 존재하며, 진공이 초깃값에 존재할 경우 밀도 진동이 시간이 지남에 따라 지수적으로 증가함을 증명한다. 이는 일반적인 3D 유한 영역에서 진공이 존재하는 경우에 대해 처음으로 이뤄진 결과이다.

ABSTRACT

We investigate the barotropic compressible Navier-Stokes equations with slip boundary conditions in a three-dimensional (3D) simply connected bounded domain, whose smooth boundary has a finite number of two-dimensional connected components. For any adiabatic exponent bigger than one, after discovering some new estimates on boundary integrals related to the slip boundary condition, we prove that both the weak and classical solutions to the initial-boundary-value problem of this system exist globally in time provided the initial energy is suitably small. Moreover, the density has large oscillations and contains vacuum states. Finally, it is also shown that for the classical solutions, the oscillation of the density will grow unboundedly in the long run with an exponential rate provided vacuum appears (even at a point) initially. This is the first result concerning the global existence of classical solutions to the compressible Navier-Stokes equations with density containing vacuum states initially for general 3D bounded smooth domains.

연구 동기 및 목표

• 3D 유한 영역에서 슬립 경계 조건을 갖는 압축성 라우아르-스트로스 방정식의 고전적 해의 전역 존재성을 확립하는 것.
• 초기 밀도가 진공 상태를 포함할 경우 고전적 해 존재성 문제를 해결하는 것.
• 해당 조건 하에서의 밀도 진동의 장기적 행동을 분석하는 것.
• 평탄하거나 대칭적인 영역을 넘어서 일반적인 매끄럽고 유한한 경계 성분을 갖는 3D 영역으로 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 슬립 경계 조건에 기인하는 경계 적분에 대한 새로운 추정을 도출하여 에너지 추정에 핵심적인 역할을 한다.
• 작은 초깃ener지 조건 하에서 에너지 방법과 고차원 추정을 적응하여, 큰 진동과 진공이 존재하는 경우에도 적용 가능하도록 한다.
• 비단순 연결 또는 축대칭 영역을 다루기 위해 레마 6.1을 통해 수정된 코른 유형 부등식을 사용한다.
• 운동량 방정식의 비선형 항을 제어하기 위해 수정된 속도장 $ v = \dot{u} + (u \cdot \nabla n) \times u^\perp $ 를 도입한다.
• 에너지 노름의 증가를 제어하기 위해 얀의 부등식과 그로워발 유형 추정을 적용한다.
• 에너지 노름의 강제성 확보를 위해 경계 적분 추정에 행렬 $ B = A + 2D(n) $ 를 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 밀도가 진공을 포함할 경우, 일반적인 유한한 영역에서 3D 압축성 라우아르-스트로스 방정식에 대한 슬립 경계 조건을 만족하는 전역 고전적 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 이러한 해에서 밀도 진동의 장기적 행동은 어떠한가?
• RQ3 일반적인 대칭 행렬 $ A $ 를 갖는 슬립 조건을 다루기 위해 경계 적분 추정을 어떻게 개선할 수 있는가?
• RQ4 에너지 방법이 단순 연결 또는 축대칭이 아닌 영역으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 초기 에너지가 충분히 작을 경우, 경계가 매끄럽고 유한한 경계 성분을 갖는 3D 유한 영역에서 고전적 해가 항상 존재한다.
• 초기 밀도는 진공(고립된 점에서도 가능)을 포함할 수 있으며, 큰 진동도 허용된다.
• 고전적 해의 경우, 초기에 진공이 존재할 경우 밀도의 진동이 시간이 지남에 따라 무한히 증가하며 지수적 속도로 증가한다.
• 이 결과는 모든 적응 열역학 계수 $ \gamma > 1 $ 에 대해 성립하며, 이는 이전 결과가 $ \gamma \geq 9/5 $ 또는 $ \gamma > 3/2 $ 로 국한되었던 것을 초월한다.
• 비단순 연결 영역에서 표준 코른 부등식이 성립하지 않는 문제를 해결하기 위해, $ B = A + 2D(n) $ 를 포함하는 수정된 경계 적분 항을 도입함으로써 이를 해결한다.
• 주어진 경계 조건 하에서 $ H^1 $ 노름에 대해 유효한 새로운 노름 등가성에 기반하여 에너지 함수의 강제성을 확립한다.