[논문 리뷰] Existence and Uniqueness of Mild Solutions to Neutral SFDE driven by a Fractional Brownian Motion with non-Lipschitz Coefficients

Salah Hajji, El Hassan Lakhel|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서 분수 Browian 운동에 의해 구동되는 중립형 확률적 함수 미분 방정식(NSFDEs)에 대해 계수에 립시츠 조건이 아닌 조건 하에서 온화한 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 저자들은 피카르 유형의 반복 근사법을 사용하고, 분수 미적분학과 확률적 분석 기법을 결합하여 이전에 립시츠 연속성 조건을 필요로 한 결과를 일반화함으로써, 비선형 항의 미분 및 확산 계수에 대한 더 약한 정규성 조건을 가정하는 경우에도 온화한 해 이론의 적용 가능성을 넓힌다.

ABSTRACT

The article presents results on existence and uniqueness of mild solutions to a class of non linear neutral stochastic functional differential equations (NSFDEs) driven by Fractional Brownian motion in a Hilbert space with non-Lipschitzian coefficients. The results are obtained by using the method of Picard approximation.

연구 동기 및 목표

• 중립형 확률적 함수 미분 방정식(NSFDEs)에 대한 온화한 해 이론을 고전적인 립시츠 조건을 초월하여 확장하기.
• 장기적 상관관계를 가진 확률적 시스템을 모델링하기 위해 구동 노이즈로 분수 Browian 운동을 사용하는 데 도전하는 문제를 다루기.
• 문헌 [4]의 이전 결과를 일반화하기 위해 립시츠 조건을 비선형성에 대한 더 약한, 보다 일반적인 조건으로 대체하기.
• 현재 상태, 과거 상태, 그리고 지연된 상태의 도함수에 의존하는 동역학을 가지는 힐버트 공간 내 NSFDEs의 잘 정의됨을 확립하기.

제안 방법

• 저자들은 진짜 해로 수렴하는 온화한 해의 수열을 구성하기 위해 피카르 유형의 반복 근사 방법을 사용한다.
• 무한소 연산자 A에 의해 생성되는 셋업을 포함하는 상수의 변화 공식을 통해 온화한 해를 정의한다.
• 분석은 닫힌 연산자의 분수 거듭제곱과 분수 Browian 운동의 위너 적분 표현에 기반한다.
• 재생 핵 힐버트 공간에 대한 분수 위너 적분의 등장성 성질을 이용하여 확률적 추정을 유도한다.
• 비선형 함수를 포함하는 일반화된 그론발르 부등식과 비교 보조정리를 사용하여 반복 수열의 수렴성을 증명한다.
• 발산적 역적분을 가지는 볼록이면서 비감소하는 함수 λ를 사용하여 비립시츠 조건을 비선형 항의 계수에 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 Browian 운동에 의해 구동되는 중립형 SFDEs의 온화한 해가 존재하기 위한 비선형 계수에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 고전적인 립시츠 조건을 더 약한 비립시츠 조건으로 완화할 수 있는가? 이 경우에도 온화한 해의 존재성과 유일성은 유지되는가?
• RQ3 허스트 매개수 H ∈ (1/2, 1)를 가진 분수 Browian 운동을 사용할 경우, 해 과정의 정규성과 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비립시츠 가정 하에서 존재성과 유일성을 증명하는 데 피카르 반복이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 볼금 함수를 포함하는 일반화된 그론발르 부등식을 사용하여 반복적 수렴성을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 비립시츠 조건 하에서 온화한 해의 존재성과 유일성이 일반화된 고전적인 립시츠 가정을 초월하여 확립된다.
• 해는 [−r, T]에서 제곱 integrable 확률 과정의 공간에서 수렴하는 피카르 반복 수열을 통해 도출된다.
• 비선형 함수 λ를 포함하는 일반화된 그론발르 부등식을 사용하여 수렴성이 증명된다. 여기서 λ는 ∫₀⁺ dx/λ(x) = ∞를 만족한다.
• 계수는 ‖f(t,x)−f(t,y)‖² ≤ α(t)λ(‖x−y‖²)를 만족하며, 여기서 λ는 볼록이고 비감소하며, λ(0)=0 이고, ∫₀⁺ dx/λ(x) = ∞ 이다.
• λ(u) = Lu일 때 고전적인 립시츠 경우가 특수한 경우로 포함된다.
• 예를 들어 λ₁(u) = Lu 및 작은 u > 0에 대해 λ₂(u) = ulog(u⁻¹)와 같은 허용 가능한 λ 함수의 구체적 예가 제공된다.