[논문 리뷰] Existence of a calibrated regime switching local volatility model and new fake Brownian motions

Benjamin Jourdain, Alexandre Zhou|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Gyöngy의 정리로부터 유도된 비선형 McKean 유형의 SDE의 해가 존재함을 증명함으로써, 校정된 제도 전환 국소 변동성 모델의 존재성을 확립한다. 유한한 확률적 변동성 범위 하에서, Fokker-Planck PDE 프레임워크를 통해 새로운 연속된 가짜 브라운 운동의 클래스를 도입하며, 기존의 브라운 운동의 마진 분포를 갖는 비마르코프 확산 과정에 대한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

By Gyongy's theorem, a local and stochastic volatility (LSV) model is calibrated to the market prices of all European call options with positive maturities and strikes if its local volatility function is equal to the ratio of the Dupire local volatility function over the root conditional mean square of the stochastic volatility factor given the spot value. This leads to a SDE nonlinear in the sense of McKean. Particle methods based on a kernel approximation of the conditional expectation, as presented by Guyon and Henry-Labordère (2011), provide an efficient calibration procedure even if some calibration errors may appear when the range of the stochastic volatility factor is very large. But so far, no global existence result is available for the SDE nonlinear in the sense of McKean. In the particular case where the local volatility function is equal to the inverse of the root conditional mean square of the stochastic volatility factor multiplied by the spot value given this value and the interest rate is zero, the solution to the SDE is a fake Brownian motion. When the stochastic volatility factor is a constant (over time) random variable taking finitely many values and the range of its square is not too large, we prove existence to the associated Fokker-Planck equation. Thanks to Figalli (2008), we then deduce existence of a new class of fake Brownian motions. We then extend these results to the special case of the LSV model called regime switching local volatility, where the stochastic volatility factor is a jump process taking finitely many values and with jump intensities depending on the spot level. Under the same condition on the range of its square, we prove existence to the associated Fokker-Planck PDE. Finally, we deduce existence of the calibrated model by extending the results in Figalli (2008).

연구 동기 및 목표

• 스토캐스틱 변동성 요인이 유한한 값과 상태에 의존하는 강제 강하율을 갖는 제도 전환 국소 변동성 모델의 존재성을 확립하는 것.
• 국소 및 스토캐스틱 변동성(LSV) 모델에서 발생하는 McKean 유형의 SDE에 대한 전역 존재 문제를 다루는 것.
• 특정 변동성 제약 조건 하에서 브라운 운동의 마진 분포를 갖는 연속적이고 비마르코프 과정으로서의 가짜 브라운 운동 이론을 확장하는 것.
• 특히 스토캐스틱 변동성 범위가 클 경우에 유용한 입자 기반 교정 방법에 대한 엄밀한 분석적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 스톡 가격에 대한 비선형 SDE를 유도하기 위해 Gyöngy의 정리를 사용하며, 여기서 확산 계수는 스토캐스틱 변동성 요인의 조건부 기대값에 의존한다.
• 큰 변동성 범위를 다루기 위해 정규화를 적용한 커널 기반 입자 방법을 교정에 적용한다.
• 스톡과 변동성 과정의 공동 분포에 대한 콜모고로프 전진 방정식을 분석하여 관련 Fokker-Planck PDE의 해 존재성을 증명한다.
• 시험 함수와 컴 pact하게 지지된 미분 가능 함수를 사용한 편경 및 밀도 추론을 통해 Fokker-Planck 시스템의 해의 유일성을 확보한다.
• [12]의 결과를 확장하여, Fokker-Planck PDE의 해를 통해 제도 전환 설정에서의 가짜 브라운 운동 존재성을 보여주는 결과를 도출한다.
• 수반 연산자와 시간 반전 전이 준군을 활용한 이중성 추론을 통해 측도 값 해의 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토캐스틱 변동성 요인이 상태에 의존하는 강제 강하율을 갖는 유한 상태의 점프 과정일 경우, 교정된 제도 전환 국소 변동성 모델이 존재하는가?
• RQ2 유한한 변동성 범위 가정 하에서 교정 조건에서 유도된 비선형 McKean SDE가 전역 해를 갖는다고 보일 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건이 연속적인 가짜 브라운 운동의 존재를 가능하게 하는가? 이들은 표준 브라운 운동은 아니지만 유한 차원 분포는 동일하다.
• RQ4 유한한 변동성 범위 제약 조건 하에서 스토커와 변동성 과정의 공동 분포에 대한 Fokker-Planck PDE를 전역적으로 어떻게 풀 수 있는가?
• RQ5 기존 결과의 확장을 통해 Fokker-Planck 시스템의 해 존재성으로부터 교정된 LSV 모델의 존재성을 유추할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 스토캐스틱 변동성 요인의 제곱 범위가 너무 크지 않은 조건 하에서, 제도 전환 국소 변동성 모델과 관련된 Fokker-Planck PDE의 해가 전역 존재함을 증명한다.
• Fokker-Planck 시스템의 해가 브라운 운동의 마진 분포를 갖지만, 경로는 브라운 운동이 아닌 과정을 유도함으로써, 새로운 연속적 가짜 브라운 운동의 클래스 존재성을 확립한다.
• 시험 함수와 수반 준군을 사용한 이중성 추론을 통해 Fokker-Planck 시스템의 해 유일성을 증명함으로써 교정이 잘 정의됨을 보장한다.
• 변동성 범위가 유한할 경우 입자 방법의 교정 오차가 제어 가능함을 보여주며, 이는 모델의 실용적 타당성을 뒷받침한다.
• 기존의 가짜 브라운 운동 존재 정리 결과를, 브라운 운동의 유한 차원 분포를 갖는 더 넓은 범위의 비마르코프적 연속 마틴게일로 확장한다.
• 해석적 정규화와 이중성 기법을 통해 Fokker-Planck PDE의 존재 결과를 원래의 McKean SDE로 확장함으로써, 교정된 제도 전환 국소 변동성 모델의 전역 존재성을 입증한다.