[논문 리뷰] Existence of $C^{1,1}$ critical sub-solutions of the Hamilton-Jacobi equation on compact manifolds

Patrick Bernard|arXiv (Cornell University)|2005. 12. 01.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 4인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 마더의 움직이는 카르탕 이론 내에서 컴act 다양체 위의 해밀턴-자코비 방정식에 대한 $C^{1,1}$ 임계 하부해의 존재성을 간결하고 자그마한 증명으로 제시한다. 반구함수의 성질과 라크스-올라니크 반군을 이용하여 이러한 하부해가 존재하고, 아우브리 집합 외부에서는 엄밀하게 만족됨을 보이며, 위상공간 내 불변집합에 대한 최적의 정규성과 역학적 함의를 제공한다.

ABSTRACT

We prove the existence of a critical subsolution of the Hamilton-Jacobi equation which is differentiable with Lipschitz differential, improving a previous result of Fathi and Siconolfi. This text is a consolidated version with a minor mistake corrected from the published version.

연구 동기 및 목표

• 마더의 움직이는 카르탕 이론의 맥락에서 해밀턴-자코비 방정식에 대한 $C^{1,1}$ 하부해의 존재를 확립하는 것.
• 이전 접근법의 기술적 복잡성을 피한 단순하고 자가 포함된 증명을 제공하는 것.
• 모든 하부해들 사이에서 균일 위상에 대해 $C^{1,1}$ 하부해들이 조밀함을 보이는 것.
• 특히 립시츠 그래프에 포함된 불변집합을 포함한 역학적 함의를 도출하는 것.
• 임계 하부해가 프로젝션된 아우브리 집합 외부에서 엄밀하게 만족될 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 연속 함수로부터 하부해를 생성하기 위해 라크스-올라니크 반군 $T_t$ 와 그 쌍대 $\breve{T}_t$ 를 이용한다.
• 특히 $K$-반구함수 성질을 적용하여 정규성과 $C^{1,1}$ 성질을 제어한다.
• 이차 도함수에 대한 균일한 제어를 확보하기 위해 $C^2$ 함수들의 유계 집합을 이용하여 하부해를 초한값으로 표현한다.
• 근접 초미분과 $K$-초미분을 이용하여 각 점에서 하부해의 정규성을 특성화한다.
• 편경한 해밀토니안 $H + V$ 를 통한 정규화 기법을 활용하여 엄밀한 하부해를 구성한다.
• 파티의 프레임워크에서 하부해 조건과 반군 작용의 단조성 사이의 등가성을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 립시츠 하부해가 존재할 때, 컴 pact 다원체 위의 해밀턴-자코비 방정식에 대해 $C^{1,1}$ 임계 하부해가 존재하는가?
• RQ2 그러한 $C^{1,1}$ 하부해가 아우브리 집합 외부에서 엄밀하게 구성될 수 있는가?
• RQ3 균일 위상 하에서 모든 하부해들의 공간에 대해 $C^{1,1}$ 하부해들의 집합이 조밀한가?
• RQ4 임계 하부해의 존재로부터 유도할 수 있는 역학적 불변량은 무엇인가?
• RQ5 $C^{1,1}$ 정규성이 최적인가, 아니면 어떤 예에서 $C^2$ 하부해가 존재하지 않는가?

주요 결과

• 어떤 토넬리 해밀토니안에 대해서든 컴 pact 다원체 위에서 하부해가 존재하면, $C^{1,1}$ 임계 하부해의 존재가 보장된다.
• 모든 하부해들의 공간에서 균일 위상 하에서 $C^{1,1}$ 하부해들의 집합은 조밀하다.
• 임계 $C^{1,1}$ 하부해는 프로젝션된 아우브리 집합 $\mathcal{A}(H)$ 외부에서 엄밀하게 구성될 수 있으며, 이는 $\mathcal{A}(H)$ 의 여집합에서 $H(x,du_x) < \alpha(H)$ 가 성립함을 의미한다.
• 아우브리 집합 $\tilde{\mathcal{A}}(H)$ 는 $H^{-1}(\alpha(H))$ 에 포함되고, 비어있고 컴 pact하며, 불변집합임을 보였다.
• 아우브리 집합 $\tilde{\mathcal{A}}(H)$ 는 그 프로젝션 $\mathcal{A}(H)$ 위의 립시츠 그래프이며, 이 구조는 $\mathcal{A}(H)$ 외부에서 엄밀하게 만족되는 $C^{1,1}$ 하부해의 존재로부터 직접 유도된다.
• 부록 A 의 예는 $C^{1,1}$ 정규성이 최적임을 확인하며, $C^2$ 하부해가 존재하지 않는 경우가 존재함을 보여준다.