[논문 리뷰] Existence of infinitely many solutions for the fractional Schrödinger- Maxwell equations

Zhongli Wei|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 12.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 7인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 변분 방법과 임계점 이론을 사용하여 $\mathbb{R}^3$에서 분수 슈뢰딩거-맥스웰 방정식의 시스템에 대해 무한히 많은 비자명한 해의 존재를 확립한다. 잠재력 $V(x)$와 비선형성 $f(x,u)$에 대한 적절한 조건, 즉 점 游성 성장과 대칭성 가정 하에, 저자들은 프онт레인 정리에 의해 무한히 많은 수의 임계점을 증명한다. 이는 $\alpha \in (0,1]$ 인 분수 라플라스 연산자 설정으로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, by using variational methods and critical point theory, we shall mainly study the existence of infinitely many solutions for the following fractional Schrödinger-Maxwell equations $$( -Δ)^α u+V(x)u+ϕu=f(x,u), \hbox{in } \mathbb{R}^3 ,$$ $$ (- riangle)^αϕ=K_α u^2 \ \ \mathrm{in}\ \ \mathbb{R}^3 $$ where $α\in (0,1],$ $K_α=\dfrac{π^{-α}Γ(α)}{π^{-(3-2α)/2}Γ((3-2α)/2)},$ $( -Δ)^α$ stands for the fractional Laplacian. Under some more assumptions on $f,$ we get infinitely many solutions for the system.

연구 동기 및 목표

• 분수 슈뢰딩거-맥스웰 방정식의 시스템이 $\mathbb{R}^3$에서 무한히 많은 비자명한 해의 존재를 확립한다.
• 프онт레인 정리의 프레임워크를 $\alpha \in (0,1]$ 인 분수 라플라스 설정으로 확장한다.
• $V(x)$에 대한 조건을 분석하여 강제성 보장하고, $f(x,u)$에 대해 적절한 성장과 대칭성 보장한다.
• 관련 에너지 함수에 대해 무한히 증가하는 임계값의 수열 존재를 증명한다.

제안 방법

• 변분 방법과 임계점 이론, 특히 프онт레인 정리를 사용하여 시스템과 관련된 에너지 함수를 연구한다.
• 분수 라플라스 연산자를 푸리에 변환을 통해 정의한다: $\mathcal{F}((-\Delta)^\alpha u)(\xi) = |\xi|^{2\alpha} \mathcal{F}(u)(\xi)$.
• 특이 적분 표현을 사용한다: $(-\Delta)^\alpha u(x) = c_{3,\alpha} \, \mathrm{P.V.} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{u(x) - u(y)}{|x-y|^{3+2\alpha}} \, dy$.
• $2 \leq r < 2_\alpha^*$ 에 대해 $H^\alpha(\mathbb{R}^3)$ 의 $L^r(\mathbb{R}^3)$ 로의 컴팩트 임베딩을 확립한다. 여기서 $2_\alpha^* = \frac{6}{3-2\alpha}$.
• 세르아미 조건, 함수의 대칭성, 유한차원 및 무한차원 부분공간에서의 함수 행동을 검증하여 프онт레인 정리를 적용한다.
• 프онт레인 정리 프레임워크를 적용하기 위해 $E = Y_m \oplus Z_m$ 의 분해를 사용한다. 여기서 $Y_m$ 은 유한차원이고 $Z_m$ 은 무한차원이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $V(x)$ 와 $f(x,u)$ 에 대해 어떤 조건에서 분수 슈뢰딩거-맥스웰 시스템이 무한히 많은 비자명한 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 $f(x,u)$ 의 점근적 성장 및 대칭 성질이 다수의 해 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 프онт레인 정리는 $\alpha \in (0,1]$ 인 분수 슈뢰딩거-맥스웰 시스템에 대해 무한히 많은 해의 존재를 증명하는 데 적응 가능한가?
• RQ4 비선형성 $f(x,u)$ 가 무한대에서의 행동이 무한히 증가하는 임계값 수열의 존재를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 조건 $(\mathbb{V})$, $(\mathbb{H}_1)$--$(\mathbb{H}_4)$ 하에, $V(x)$ 의 강제성과 $f$ 에 대한 특정 성장 조건을 포함하여 시스템은 무한히 많은 비자명한 해를 가진다.
• 에너지 함수는 모든 수준 $c > 0$ 에서 세르아미 조건을 만족한다. 이는 프онт레인 정리를 적용하는 데 필수적이다.
• 무한차원 부분공간 $Z_m$ 에서 함수는 아래로 유계이며, 어떤 $\rho > 0$ 에 대해 구면 $\partial B_\rho \cap Z_m$ 에서 양의 하한을 갖는다.
• 모든 유한차원 부분공간 $\widetilde{E} \subset E$ 에 대해 $\|u\| \to \infty$ 일 때 $J(u) \to -\infty$ 임을 보여, 프онт레인 구조를 보장한다.
• $H^\alpha(\mathbb{R}^3)$ 의 $L^r(\mathbb{R}^3)$ 로의 임베딩은 $2 \leq r < 2_\alpha^*$ 에서 컴팩트하다. 이는 증명에 핵심적이다.
• $\alpha > \frac{3}{4}$ 일 때 결과가 성립하며, 이는 임계 지수 $2_\alpha^* = \frac{6}{3-2\alpha}$ 가 잘 정의되고 4보다 크다는 것을 보장한다.