[논문 리뷰] Existence of noncontractible periodic orbits of Hamiltonian system separating two Lagrangian tori on $T^*\T^n$ with application to non convex Hamiltonian systems

Jinxin Xue|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 22.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 운동량 공간에 코너 조건이 만족될 때, 두 라그랑주 토러스를 분리하는 $T^*\mathbb{T}^n$ 위의 해밀토니안 시스템에서 비수축 가능한 1주기 궤도의 존재를 확립한다. 운동량 공간에서 양의 스펙트럼 코너에 컴act 지지가 있는 수정된 해밀토니안과 동반된 코너 조건을 이용하여, 에너지 수준 전반에 걸쳐 이러한 궤도의 조밀한 존재를 증명함으로써, 아르놀트의 라이노시안 유형 시스템에 대한 문제를 해결하고, 폴터비치의 정적 측도가 주기 궤도에 지지된다는 추측을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper, we show the existence of non contractible periodic orbits in Hamiltonian systems defined on $T^*\T^n$ separating two Lagrangian tori under certain cone assumption. Our result answers a question of Polterovich in \cite{P} in a sharp way. As an application, we find periodic orbits of almost all the homotopy types on a dense set of energy level in Lorentzian type mechanical Hamiltonian systems defined on $T^*\T^2$. This solves a problem of Arnold in \cite{A}.

연구 동기 및 목표

• 폴터비치가 심플렉틱 시스템에서 비자명한 회전 벡터를 가진 정적 측도를 지지하는 주기 궤도의 존재에 관해 제기한 질문을 해결하기 위해.
• 운동량 공간에 코너 조건이 만족될 때, 두 라그랑주 토러스를 분리하는 $T^*\mathbb{T}^n$ 위의 해밀토니안 시스템에서 비수축 가능한 주기 궤도의 존재를 확립하기 위해.
• 라이노시안 유형 기계 시스템에서 $T^*\mathbb{T}^2$ 위의 거의 모든 호모토피 클래스에 대해 에너지 수준에서 주기 궤도의 조밀한 존재를 증명하여 아르놀트의 문제를 해결하기 위해.
• 콤팩트 지지를 가진 해밀토니안이 비자명한 주기 궤도를 생성하지 못하는 반례를 피하기 위해 기하학적 코너 조건을 도입함으로써 이러한 병리를 배제하기 위해.

제안 방법

• 운동량 공간에서 양의 스펙트럼 코너 $\mathcal{C} \subset \mathbb{R}^n$ 내에 콤팩트 지지를 가지는 해밀토니안 $F(p,q)$를 정의하고, 동반된 코너 $\mathcal{C}^*$를 설정한다.
• 부드러운 커프 함수 $W_1(p)$와 포화 함수 $\sigma$를 사용하여 코너 내에서 해밀토니안을 국소화하면서, $p^* \in \mathrm{int}(\mathcal{C})$ 에 대해 $F(p^*,q) \geq c > 0$ 임을 보장한다.
• 호모로지 클래스 $\alpha \in H_1(\mathbb{T}^n, \mathbb{Z}) \setminus \{0\}$ 가 $\mathcal{C}^*$에 속하고 $\langle p^*, \alpha \rangle \leq c$ 를 만족하도록 조건을 부과한다.
• 코너 구조를 이용하여, 기약수일 수 없는 $\alpha$에 대해 $F(p,q) = \langle \alpha, p \rangle / \langle \alpha, p^* \rangle$ 와 같은 반례에서 비자명한 주기 궤도가 생성되지 않음을 배제한다.
• 큰 $R$ 을 사용한 편미분 방법을 적용하여, $\|p\|/R \simeq 1$ 일 때 커프 함수 $W_1$ 가 주기 궤도를 생성하지 못함을 보이며, 속도 $\dot{q}$ 를 유한하게 제한하고 최소 호모로지 이동 거리와 모순됨을 밝힌다.
• 변수 $a,b$ 를 변화시켜 코너 구조를 이용해 $\alpha \in \mathcal{C}^*$ 를 보장함으로써, $\left(0, \frac{(p^*_1)^2}{2} - \frac{(p^*_2)^2}{2} - M\right)$ 의 조밀한 부분집합에서 에너지 수준 $\{H = s\}$ 에서 주기 궤도의 조밀한 존재를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동량 공간에 기하학적 제약 조건이 있을 때, 두 라그랑주 토러스를 분리하는 $T^*\mathbb{T}^n$ 위의 해밀토니안 시스템에서 비수축 가능한 주기 궤도가 존재할 수 있는가?
• RQ2 운동량 공간에 대한 코너 조건은 콤팩트 지지를 가진 해밀토니안이 비자명한 주기 궤도를 생성하지 못하는 반례를 방지하는가?
• RQ3 비볼록 기계 시스템에서 $T^*\mathbb{T}^2$ 위의 에너지 수준에서 조밀한 집합의 주기 궤도가 존재할 수 있는가?
• RQ4 해밀토니안 구성에서 커프 함수의 영향으로 인한 궤도가 아닌 궤도를 보장할 수 있는가?
• RQ5 동반된 코너 조건 $\alpha \in \mathcal{C}^*$ 와 $\langle p^*, \alpha \rangle \leq c$ 는 호모로지 클래스 $\alpha$ 에서 궤도의 존재를 보장하는가?

주요 결과

• 모든 $\mathscr{C}^\infty$ 해밀토니안 $H$ 는 $\mathcal{C} \times \mathbb{T}^n \times \mathbb{T}$ 내에 콤팩트 지지를 가지며, $H(p^*,q,t) \geq c > 0$ 를 만족하고, $\langle p^*, \alpha \rangle \leq c$ 와 $\alpha \in \mathcal{C}^*$ 를 만족하는 모든 $\alpha \in H_1(\mathbb{T}^n, \mathbb{Z}) \setminus \{0\}$ 에 대해 호모로지 클래스 $\alpha$ 에 속하는 1주기 궤도가 존재한다.
• 이 구성은 $\|p\|/R \simeq 1$ 일 때 커프 함수 $W_1$ 가 주기 궤도를 생성하지 않음을 보장한다. 왜냐하면 속도 $\dot{q}$ 가 비자명한 호모로지 이동을 지지할 수 없도록 너무 작아지기 때문이다.
• 라이노시안 유형 해밀토니안에 대해 $T^*\mathbb{T}^2$ 에서는 $\left(0, \frac{(p^*_1)^2}{2} - \frac{(p^*_2)^2}{2} - M\right)$ 의 조밀한 부분집합 $S_\alpha$ 가 존재하여, 각 $s \in S_\alpha$ 는 호모로지 클래스 $\alpha$ 를 가진 주기 궤도를 지지한다.
• 결과는 $H(p^*,q) \geq b > a > \max_q V(q)$ 를 만족하는 모든 $p^* \in \mathcal{C}$ 에 대해 성립하며, $a,b$ 를 변화시킴으로써 전체 양의 에너지 범위에서 조밀한 존재가 달성된다.
• 에너지 수준 $\|p\|/R \simeq 1$ 에서의 궤도 존재를 배제하기 위해, $\dot{q}_1 - \dot{q}_2$ 또는 $\dot{q}_1 + \dot{q}_2$ 가 작아야 하며, 이는 $\alpha \in \mathcal{C}^* \cap H_1(\mathbb{T}^2, \mathbb{Z})$ 에 대해 $|\alpha_1 \pm \alpha_2|$ 의 하한과 모순된다.
• 핵심 기하 조건은 $\mathcal{C}$ 가 원점을 통과하는 직선을 포함하지 않는 양의 스펙트럼 코너라는 점이며, 이는 기약수일 수 없는 $\alpha$ 에 대해 반례 $F(p,q) = \langle \alpha, p \rangle / \langle \alpha, p^* \rangle$ 를 배제한다.