[논문 리뷰] Existence of solution for Hilfer fractional differential equations with boundary value conditions

Mohammed S. ‬Abdo, Satish K. Panchal외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 26.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가중 연속 함수 공간에서 등가 적분방정식으로 문제를 변환함으로써, 경계 조건을 가진 힐러 분수미분방정식의 해가 존재함을 보여준다. 비선형 항에 대한 최소한의 가정 하에 샤페르의, 쇼아우더의, 크라스노셀스키의 고정점 정리들을 사용하여, 적어도 하나의 해가 존재하고, 더 강한 조건 하에서는 유일한 해가 존재함을 증명하며, 명시적인 매개변수 계산을 포함한 예시를 통해 검증된다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of nonlinear fractional differential equations involving Hilfer derivative with boundary conditions. First, we obtain an equivalent integral for the given boundary value problem in weighted space of continuous functions. Then we obtain the existence results for a given problem under a new approach and minimal assumptions on nonlinear function f. The technique used in the analysis relies on a variety of tools including Schauder, Schaefer and Krasnoselski fixed point theorems. We demonstrate our results through illustrative examples.

연구 동기 및 목표

• 힐러 분수미분방정식의 비국소 경계 조건을 가진 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 경계값 문제를 연속 함수의 가중 공간에서 등가 적분방정식으로 환원한다.
• 비선형 함수 f에 대한 강한 리프시츠 조건이나 컴actness 조건을 피하는 최소한의 조건 하에서 문제를 분석한다.
• 공 ing 및 응용 과학 분야에 적용 가능한 일반적이고 효과적인 프레임워크에서 고정점 정리를 적용한다.

제안 방법

• 힐러 분수경계값 문제를 $ C_{n-\beta}^{\beta}[a,b] $ 에서의 등가 적분방정식으로 변환한다. 여기서 $ \gamma = \alpha + \beta(1-\alpha) $.
• 샤우더의, 쇼아우더의, 크라스노셀스키의 고정점 정리를 사용하여 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 리만-리우빌 분수적분과 미타그레플레르 함수의 성질을 이용하여 적분 표현식을 유도한다.
• 아르체라-아스콜리 정리를 적용하여 이미지 집합의 등연속성과 상대 컴팩트성을 증명한다.
• 베타 함수와 감마 함수를 포함한 추정을 통해 연산자의 등연속성과 컴팩트성을 검증한다.
• 구체적인 예시를 통해 결과를 검증한다. 여기서 $ \alpha = \frac{1}{2}, \beta = \frac{1}{3} $, 그리고 $ f(t,z) = t^{-1/6} + \frac{1}{16}t^{5/6}\sin z(t) $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 함수 $ f $ 에 대해 힐러 분수미분방정식의 경계 조건을 가진 해가 존재하기 위한 최소 조건은 무엇인가?
• RQ2 경계값 문제는 어떻게 가중 함수 공간에서 등가 적분방정식으로 환원될 수 있는가?
• RQ3 강한 리프시츠 조건이나 컴팩트성 가정 없이도 효과적으로 적용 가능한 고정점 정리는 무엇인가?
• RQ4 비국소 및 적분형 경계 조건은 힐러 도함수의 맥락에서 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ5 특정 매개변수 값과 노름은 구체적인 예시에서 해의 존재성과 유일성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 문제는 고정점 이론의 적용을 가능하게 하는 가중 공간 $ C_{n-\beta}^{\beta}[a,b] $ 에서의 등가 적분방정식으로 환원된다.
• 등연속성과 상대 컴팩트성을 바탕으로 크라스노셀스키의 고정점 정리를 사용하여 적어도 하나의 해가 존재함을 증명한다.
• 비선형 함수 $ f $ 에 대한 리프시츠 조건과 특정 매개변수를 포함한 부등식이 만족될 경우, 유일한 해가 존재한다. 예시에서 $ \mathcal{W} \simeq 0.14 < 1 $ 이고 $ \mathcal{G} \simeq 0.19 < 1 $ 이다.
• 예시에서 $ \alpha = \frac{1}{2}, \beta = \frac{1}{3} $ 일 때, (H1), (H2), (H3), 그리고 (H4)-(H5) 조건을 모두 만족하며, 모든 핵심 부등식이 수치적으로 확인된다.
• 해는 공간 $ C_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}([0,1]) $ 에 속하며, 약한 특이성을 가진 비선형성 문제에의 적용 가능성을 보여준다.
• 이 프레임워크는 일반적이고 효과적이며, $ f $ 에 대한 가정이 최소화되어 있어 공학 및 응용 과학 분야에 적용 가능하다.