[논문 리뷰] Existence, uniqueness and ergodic properties for time-homogeneous It\^o-SDEs with locally integrable drifts and Sobolev diffusion coefficients

Haesung Lee, Gérald Trutnau|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 03.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 34인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 국소 적분 가능한 비틀림과 소볼레프 확산 계수를 갖는 시간 동질적인 이토 SDE에 대해, Lp-공간에서 타원형 및 포아송형 정규성 이론과 딜레클레 형식 이론을 이용하여 경로 유일성과 강한 해 존재성을 확립한다. 최소한의 가정 — 비틀림이 Lp_loc(Rd)에 속하고, 확산 계수들이 p > d에 대해 H^1,p_loc(Rd)에 속할 때 — 에서 비가역성, L1 + L∞ 및 Lq + L∞ (q = dp/(d+p))에서 강한 펠러 성질, 모멘트 부등식, 폭발 방지 조건, 그리고 불변 확률 측도의 존재성과 유일성을 증명한다.

ABSTRACT

Using elliptic and parabolic regularity results in $L^p$-spaces and generalized Dirichlet form theory, we construct for every starting point weak solutions to SDEs in $\mathbb{R}^d$ up to their explosion times including the following conditions. For arbitrary but fixed $p>d$ the diffusion coefficient $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le d}$ is locally uniformly strictly elliptic with functions $a_{ij}\in H^{1,p}_{loc}(\mathbb{R}^d)$ and the drift coefficient $\mathbf{G}=(g_1,\dots, g_d)$ consists of functions $g_i\in L^p_{loc}(\mathbb{R}^d)$. The solution originates by construction from a Hunt process with continuous sample paths on the one-point compactification of $\mathbb{R}^d$ and the corresponding SDE is by a known local well-posedness result pathwise unique up to an explosion time. Just under the given assumptions we show irreducibility and the strong Feller property on $L^{1}(\mathbb{R}^d,m)+L^{\infty}(\mathbb{R}^d,m)$ of its transition function, and the strong Feller property on $L^{q}(\mathbb{R}^d,m)+L^{\infty}(\mathbb{R}^d,m)$, $q=\frac{dp}{d+p}\in (d/2,p/2)$, of its resolvent, which both include the classical strong Feller property. We present moment inequalities and classical-like non-explosion criteria for the solution which lead to pathwise uniqueness results up to infinity under presumably optimal general non-explosion conditions. We further present explicit conditions for recurrence and ergodicity, including existence as well as uniqueness of invariant probability measures.

연구 동기 및 목표

• 시간 동질적인 이토 SDE에 대해 비틀림과 확산 계수에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서 경로 유일성과 강한 해 존재성을 확립하기.
• 비유한 상태 공간과 비유한 계수를 포함한 약한 조건 하에서 전이 준군의 강한 펠러 성질과 비가역성을 증명하기.
• 국소 적분 가능한 비틀림과 H^1,p_loc 확산 계수를 갖는 SDE에 대해 폭발 방지, 재귀성, 에르고딕성의 명시적 기준을 도출하기.
• 불변 확률 측도의 후보를 구성하고, 명시적 조건 하에서 그 존재성과 유일성을 확립하기.
• 특히 비유한 및 특이 비틀림에 대해 전통적인 전역 유계성 또는 리프시츠 조건을 제거함으로써 기존 결과를 일반화하기.

제안 방법

• SDE 생성자와 관련된 두 번째 순서 타원형 연산자의 Lp-공간에서 타원형 및 포아송형 정규성 이론을 활용한다.
• 일반화된 딜레클레 형식 이론을 적용하여 Rd의 한점 컴actification 위에서 연속적인 표본 경로를 갖는 헌트 과정을 구성한다.
• L1(Rd, m) + L∞(Rd) 및 Lq(Rd, m) + L∞(Rd)에서 전이 준군과 리졸베ント을 통한 강한 펠러 성질을 활용한다. 여기서 q = dp/(d+p).
• 리아푸노프 유형 함수와 비틀림 및 확산 계수의 적분 가능성 조건을 이용하여 모멘트 부등식과 폭발 방지 조건을 유도한다.
• 약한 해 구성과 알려진 국소 적합성 결과를 활용하여 강한 펠러 성질과 비가역성 성질을 기반으로 경로 유일성을 확립한다.
• 일반화된 딜레클레 형식 이론을 적용하여 불변 측도의 존재를 도출하고 재귀성 및 에르고딕성 조건 하에서 그 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비틀림과 확산 계수에 대해 어떤 최소한의 정규성 조건이 시간 동질적인 이토 SDE에 대해 경로 유일한 강한 해를 보장하는가?
• RQ2 비유한, 국소 적분 가능한 계수를 갖는 SDE에 대해 전이 준군의 강한 펠러 성질과 비가역성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 국소 적분 가능한 비틀림과 H^1,p_loc 확산 계수를 갖는 SDE에 대해 폭발 방지의 명시적 기준을 도출할 수 있는가? (p > d)
• RQ4 재귀성과 에르고딕성, 즉 불변 확률 측도의 존재성과 유일성에 대한 충분한 조건는 무엇인가?
• RQ5 모멘트 부등식과 리아푸노프 유형 함수는 전역 리프시츠 또는 유계성 가정이 없을 경우 폭발 방지 및 장기적 행동 분석에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 비틀림 G ∈ Lp_loc(Rd) 및 확산 계수 aij ∈ H^1,p_loc(Rd) (p > d)를 갖는 SDE에 대해, 폭발 시간까지 경로 유일한 강한 해가 존재하며, 폭발이 발생하지 않을 조건 하에서는 전역적으로 존재한다.
• 전이 준군 (Pt)t>0은 L1(Rd, m) + L∞(Rd)에서 강한 펠러 성질을 만족하며, q = dp/(d+p) ∈ (d/2, p/2)인 Lq(Rd, m) + L∞(Rd)에서 리졸베ント 역시 강한 펠러 성질을 만족한다. 이는 고전적 강한 펠러 성질을 함의한다.
• 동일한 조건 하에서 준군의 비가역성이 확립되며, 이는 과정이 어떤 시작점에서라도 임의의 열린 집합으로 도달할 수 있음을 의미한다.
• 폭발 방지의 명시적 기준이 도출되었으며, Ld+1(Rd) 함수와 로그 항을 포함하는 성장 조건이 포함되어 있어 선형 성장과 특이성을 허용한다.
• 측도 m를 후보로 구성하고 재귀성 및 에르고딕성 조건 하에서 불변 확률 측도의 존재성과 유일성을 증명하였다.
• 해의 성장 양상을 제어하고 폭발 방지 및 장기적 행동 분석을 지원하는 모멘트 부등식이 도출되었다.