[논문 리뷰] Existence, uniqueness, and numerical approximations for stochastic Burgers equations

Mazzonetto, Sara, Salimova, Diyora|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 26.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 공간-시간 백색 잡음이 있는 스토하스틱 버거스 방정식에 대해 존재성, 유일성, 공간적 정규성, 그리고 수치 근사의 강한 수렴성을 통합한 프레임워크를 수립한다. 완전히 명시적인 공간-시간 이산화된 스킴과 경로별 사전 추정치를 활용하여, 저자들은 ̺ ∈ (1/8, 1/4)에서 H̺에 대해 약한 해에 대한 거의 확실 수렴성과 강한 수렴성을 증명한다. 이는 이전 결과를 확장하며, 더 향상된 수렴 보장과 공간 정규성 분석을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we propose an all-in-one statement which includes existence, uniqueness, regularity, and numerical approximations of mild solutions for a class of stochastic partial differential equations (SPDEs) with non-globally monotone nonlinearities. The proof of this result exploits the properties of an existent fully explicit space-time discrete approximation scheme and, in particular, the fact that it satisfies suitable a priori estimates. As a byproduct we obtain almost sure and strong convergence of the approximation scheme to the mild solutions of the considered SPDEs. We conclude by applying the main result of the paper to the stochastic Burgers equations with space-time white noise.

연구 동기 및 목표

• 비전역적으로 단조적이지 않은 비선형성을 가진 SPDE에 대해 존재성, 유일성, 공간 정규성, 수치 근사의 수렴성을 통합하는 프레임워크를 수립하는 것.
• 예를 들어 스토하스틱 버거스 방정식과 같이 비선형성이 초선형적으로 증가하는 SPDE의 수치적 방법에서 강한 수렴성과 거의 확실 수렴성의 과제를 해결하는 것.
• 기존 결과를 확장하기 위해 근사 스킴에 대해 경로별 사전 추정치를 증명함으로써, ̺ ∈ (1/8, 1/4)에서 H̺에 대한 해의 정규성을 보장하는 것.
• 공개된 프레임워크를 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 스토하스틱 버거스 방정식에 적용하여, 적절한 정규성 공간에서 약한 해의 존재성과 유일성을 확인하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 비선형성이 초선형적으로 증가하는 SPDE에 대해 완전히 명시적인 공간-시간 이산화된 비선형성 절단형 가속화된 지수 오일러 유형 스킴을 사용한다.
• Jentzen 등 [2019, 보조정리 2.6]의 결과와 Jentzen 등 [2018, 보조정리 8.4]의 범위가 Banach 공간인 진화 방정식 이론을 활용하여 근사 과정에 대해 경로별 사전 추정치를 유도한다.
• 스킴이 비발산을 보장하고 H̺(̺ ∈ (1/8, 1/4))에 값을 갖도록 하는 적절한 사전 추정치를 만족함을 보여, 이는 공간 정규성을 암시한다.
• 수렴 분석은 Jentzen 등 [2019, 정리 3.5]의 강한 수렴 결과에 기반하며, 비선형성에 추가적인 정규성 조건(부등식 (3.1))을 적용한다.
• H = L²((0,1); ℝ), A = 디리클레 경계 조건을 가진 라플라스 연산자, F(v) = c₁v²의 설정에서 공개된 조건을 만족시키도록 스토하스틱 버거스 방정식에 프레임워크를 적용한다.
• 증명은 스펙트럼 분해와 보간 공간 Hr을 포함한 추정치를 사용하며, 특히 r > 3/4일 때 ∥F(v)∥H−γ를 ∥v∥²H로 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비전역적으로 단조적이지 않은 비선형성을 가진 SPDE의 약한 해에 대해 존재성, 유일성, 공간 정규성, 수렴성을 동시에 확보할 수 있는 단일 프레임워크가 존재하는가?
• RQ2 완전히 명시적인 공간-시간 이산화 스킴이 공간-시간 백색 잡음이 있는 스토하스틱 버거스 방정식의 약한 해로 거의 확실하게 및 강하게 수렴하는가?
• RQ3 주어진 조건 하에서 스토하스틱 버거스 방정식의 약한 해에 대해 최적의 공간 정규성(H̺ 기준)은 무엇인가?
• RQ4 근사 스킴에 대한 경로별 사전 추정치는 해 과정의 비발산성과 전역 존재성을 어떻게 보장하는가?

주요 결과

• 논문은 ̺ ∈ (1/8, 1/4)에서 H̺에 값을 갖는 공간-시간 백색 잡음이 있는 스토하스틱 버거스 방정식에 대해 약한 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 제안된 수치적 스킴은 거의 확실하게 및 강하게 약한 해로 수렴하며, 모든 p ∈ (0, ∞)에 대해 lim supₙ→∞ supₜ∈[0,T] E[∥Xₜ − Xₙₜ∥ᵖᴴ] = 0 를 만족한다.
• 스킴은 완전히 명시적이며 비선형성 절단형이므로, 계산 가능성을 유지하면서도 주어진 정규성 가정 하에 강한 수렴성을 보장한다.
• 증명은 해 과정이 H̺에서 유계로 유지됨을 보여, 이는 해가 연속적이고 C((0,1); ℝ)의 부분공간에 값을 갖는다는 것을 암시한다.
• 저자들은 이전 결과를 복원하고 확장하며, Jentzen 등 [2019, 보조정리 5.6]의 스토하스틱 버거스 방정식에 대한 강한 수렴성 결과를 거의 확실 수렴성과 향상된 정규성 분석을 포함하여 확장한다.
• 이 프레임워크는 동일한 조건 하에서 스토하스틱 킴라모토-시바시킨 및 올렌-컨 방정식, 그리고 2차원 스토하스틱 나비에-스토크스 방정식에 대해서도 존재성과 유일성을 회복할 수 있을 정도로 일반적이다.