[논문 리뷰] Expanders via random spanning trees

Navin Goyal, Luis Rademacher외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 04.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 19인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 유계 차수 및 무작위 그래프에서 확산 그래프를 구성하는 데 간단하고 효율적인 방법으로, 두 개의 무작위 스패닝 트리의 합집합인 스플라이서(splicers)를 소개한다. 이 스플라이서가 모든 컷을 로그 인자 정도로 근사함을 증명하여, O(n)개 간선을 가진 확장 가능한 신뢰성 있는 라우팅 및 그래프 스퍼피케이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Motivated by the problem of routing reliably and scalably in a graph, we introduce the notion of a splicer, the union of spanning trees of a graph. We prove that for any bounded-degree n-vertex graph, the union of two random spanning trees approximates the expansion of every cut of the graph to within a factor of O(log n). For the random graph Gn, p, for p = Ω(log n/n), we give a randomized algorithm for constructing two spanning trees whose union is an expander. This is suggested by the case of the complete graph, where we prove that two random spanning trees give an expander. The construction of the splicer is elementary; each spanning tree can be produced independently using an algorithm by Aldous and Broder: A random walk in the graph with edges leading to previously unvisited vertices included in the tree. Splicers also turn out to have applications to graph cut-sparsification where the goal is to approximate every cut using only a small subgraph of the original graph. For random graphs, splicers provide simple algorithms for sparsifiers of size O(n) that approximate every cut to within a factor of O(log n).

연구 동기 및 목표

• 대규모 그래프에서 신뢰성 있고 확장 가능한 라우팅을 해결하기 위해 희소하고 고도로 확산되는 부분그래프를 구성하기 위해.
• 오직 두 개의 무작위 스패닝 트리만을 사용하여 확산 그래프를 단순하고 무작위로 구성하는 방법을 개발하기 위해.
• 다양한 그래프 가족에서 두 개의 무작위 스패닝 트리의 합집합에 대한 컷 근사 보장 이론을 제공하기 위해.
• 모든 컷 값이 로그 인자 내에서 유지되는 부분선형 크기의 부분그래프를 이용한 효율적인 그래프 컷-스퍼피케이션을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 무작위로 방문하지 않은 정점에만 간선을 추가하는 무작위 걷기 방식을 사용해 각 스패닝 트리를 알도스-브로더 알고리즘으로 구성하기.
• 동일한 그래프의 두 개의 독립적으로 생성된 무작위 스패닝 트리의 합집합으로 스플라이서를 형성하기.
• 원본 그래프의 모든 컷의 확산성이 스플라이서에 의해 O(log n) 인자 내에서 근사됨을 증명하기.
• p = Ω(log n / n) 인 무작위 그래프 G(n, p)에 이 방법을 적용하여, 두 개의 무작위 스패닝 트리가 높은 확률로 확산 그래프를 형성함을 보여주기.
• 스플라이서의 구조를 활용해 O(log n) 근사 인자 내에서 모든 컷 값을 유지하는 O(n) 간선 부분그래프를 만드는 것.
• 스플라이서의 확산 성질을 활용해 라우팅 및 그래프 압축에서의 강건성과 확장성을 보장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 차수를 가진 그래프에서 두 개의 무작위 스패닝 트리의 합집합이 모든 컷의 확산성을 다항로그 인자 내에서 근사할 수 있는가?
• RQ2 p = Ω(log n / n) 인 에르되시-레니 무작위 그래프 G(n, p)에서 두 개의 무작위 스패닝 트리의 합집합이 높은 확률로 확산 그래프를 형성하는가?
• RQ3 스플라이서는 어떻게 모든 컷 값을 로그 인자 내에서 유지하는 작고 희소한 부분그래프를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 일반적인 그래프에서 두 개의 무작위 스패닝 트리를 스플라이서로 사용할 경우 컷 근사에 대한 이론적 보장은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 유계 차수를 가진 n-정점 그래프에서 두 개의 무작위 스패닝 트리의 합집합은 모든 컷의 확산성을 O(log n) 인자 내에서 근사한다.
• 완전 그래프에서는 두 개의 독립적인 무작위 스패닝 트리가 거의 확실히 확산 부분그래프를 형성한다.
• p = Ω(log n / n) 인 무작위 그래프 G(n, p)에서는 무작위 알고리즘이 두 개의 스패닝 트리를 생성하여 그 합집합이 확산 그래프가 됨을 보여준다.
• 스플라이서는 모든 컷에 대해 O(log n) 근사 인자를 가진 O(n) 간선 부분그래프를 제공하여 컷 스퍼피케이터로 기능한다.
• 이 구성은 간단하고 효율적이며, 오직 무작위 걷기와 알도스-브로더 알고리즘을 이용한 트리 생성에 의존한다.
• 이 방법은 대규모 네트워크에서 그래프 스퍼피케이션 및 신뢰성 있는 라우팅을 위한 확장 가능하고 분산 친화적인 접근법을 제공한다.