[논문 리뷰] Expected Shortfall as a Tool for Financial Risk Management

Carlo Acerbi, Claudio Nordio외 1명|ArXiv.org|2001. 02. 16.

Risk and Portfolio Optimization인용 수 159

한 줄 요약

이 논문은 기대손실(Expected Shortfall, ES)이 가치의 한도(Value at Risk, VaR)보다 금융 리스크 관리에서 열등한 리스크 측도가 아니라고 주장한다. ES는 VaR와 달리 하위가치성(subadditivity)과 일관성(coherence)을 갖기 때문이다. VaR는 꼬리 손실 프로파일이 다른 포트폴리오를 구분하지 못하지만, ES는 이를 가능하게 한다. 저자들은 ES의 하위가치성을 엄밀하게 증명하고, 규제 및 리스크 통제 프레임워크에서 ES를 VaR의 더 견고한 대체재로 채택할 것을 주장한다.

ABSTRACT

We study the properties of Expected Shortfall from the point of view of financial risk management. This measure --- which emerges as a natural remedy in some cases where Value at Risk (VaR) is not able to distinguish portfolios which bear different levels of risk --- is indeed shown to have much better properties than VaR. We show in fact that unlike VaR this variable is in general subadditive and therefore it is a Coherent Measure of Risk in the sense of reference (artzner)

연구 동기 및 목표

• 가장자리 리스크 노출이 다른 포트폴리오를 구분하지 못하는 가치의 한도(VaR)의 한계를 해결하기 위해.
• 일반적인 경우에서의 하위가치성 증명을 통해 기대손실(ES)이 일관성 있는 리스크 측도임을 입증하기 위해.
• 불연속 분포와 분위수의 모호성에 대응하는 수학적으로 엄밀한 ES 정의를 제공하기 위해.
• ES의 더 뛰어난 성질이 꼬리 리스크를 더 잘 포착한다는 점을 고려해, 금융 리스크 관리에서 VaR를 ES로 대체할 것을 주장하기 위해.
• VaR가 극단적인 손실 분포가 매우 다른 포트폴리오에 대해 동일한 리스크를 부여하는 역설을 해결하기 위해.

제안 방법

• 누적분포함수의 불연속성에 대응하기 위해, 최악의 q% 결과에서의 기대손실을 조정한 q-꼬리 평균을 정의한다.
• 분위수가 양의 확률질량을 가질 수 있는 경우를 다루기 위해 수정된 지시함수 1^q_{X≤x_q}를 도입한다.
• 수정된 지시함수의 성질과 기대값 부등식을 이용해 기대손실의 하위가치성을 증명한다.
• 기대손실을 리스크 측도로 체계화한다: ES_{q,T}(Π) = D^{-1}(0,T)Π(0) - Ŕ_Π,q(T), 여기서 Ŕ_Π,q(T)는 시점 T에서 포트폴리오 가치의 q-꼬리 평균이다.
• 하위가치성 증명을 활용해 ES가 하위가치성 외에도 모든 일관성 공리(axioms)를 만족함을 보이며, 특히 VaR가 실패하는 하위가치성 원칙을 충족함을 입증한다.
• VaR와 ES를 비교하기 위해, 동일한 5% VaR를 갖지만 꼬리 손실 심각도가 다른 포트폴리오를 다루는 역설적 예시를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 가치의 한도(VaR)는 동일한 VaR를 갖는다 해도 꼬리 손실 특성이 다른 포트폴리오를 구분하지 못하는가?
• RQ2 비정규분포 또는 불연속적 수익률 분포에 대해서도 기대손실(ES)은 일반적으로 하위가치성을 갖는가?
• RQ3 아르츠너 등이 제시한 공리에 따라 기대손실(ES)을 엄밀히 정의하고 일관성 있는 리스크 측도임을 증명할 수 있는가?
• RQ4 어떤 수학적 표현이 극단적인 시장 상황에서 ES가 VaR보다 꼬리 리스크를 더 정확히 포착할 수 있게 하는가?
• RQ5 ES의 하위가치성은 다각화된 포트폴리오 리스크 관리에서 VaR 대비 왜 더 유용한가?

주요 결과

• 분위수의 모호성을 다루기 위해 적절한 지시함수를 구성함으로써, 기대손실(ES)이 불연속 분포에 대해서도 일반적으로 하위가치성을 갖는다는 것이 증명되었다.
• 이 논문은 두 포트폴리오가 동일한 5% VaR를 갖지만, 하나는 최악의 손실이 유계이고 다른 하나는 비유계인 경우에 대해 VaR가 동일한 리스크를 할당하는 역설을 해결했다.
• ES는 하위가치성 외에도 모든 네 가지 일관성 공리를 충족하므로, 일관성 있는 리스크 측도이다. 이는 VaR가 실패하는 하위가치성 원칙을 포함한다.
• ES의 하위가치성은 다각화가 리스크 평가에 정확히 반영됨을 보장하며, 이는 VaR가 이러한 원칙을 위반할 수 있음과 대비된다.
• 저자들은 ES가 꼬리 리스크를 더 잘 포착할 수 있다는 점을 고려해, 특히 꼬리 리스크를 다룰 때 VaR보다 더 견고하고 신뢰할 수 있는 측도라고 결론 내린다.
• 수정된 지시함수 1^q_{X≤x_q}를 사용함으로써, 하위가치성의 엄밀한 증명은 모든 분포, 특히 이산적인 점프를 가진 분포에 대해서도 유효하다.