[논문 리뷰] Explicit $L^2$ bounds for the Riemann $\zeta$ function

Daniele Dona, H. A. Helfgott외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 03.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 메린 변환 등장성과 오일러-매클로린 합산을 이용한 두 가지 상호보완적인 방법을 통해, 수직선 $\Re(s) = \sigma$ 상에서 리만 제타 함수 $\zeta(s)$의 尾함수에 대한 명시적이고 날카로운 $L^2$ 상한을 제공한다. 주요 기여는 $0 < \sigma \leq 1$ 인 경우에 대해 $\int_T^\infty |\zeta(\sigma + it)|^2 / |\sigma + it|^2 \, dt$의 명시적이고 수치적으로 검증 가능한 상한을 제공함으로써, 해석적 수론에서의 비정상 적분의 엄밀한 수치적 평가를 가능하게 한다. 이 상한들은 $T \geq 4$ 에서 유효하며, 대규모 $T$ 에 최적화되어 있으며, ARB와 Sage를 이용한 간격 산술을 통해 명시적인 상수를 도출하였다.

ABSTRACT

Explicit bounds on the tails of the zeta function $\zeta$ are needed for applications, notably for integrals involving $\zeta$ on vertical lines or other paths going to infinity. Here we bound weighted $L^2$ norms of tails of $\zeta$. Two approaches are followed, each giving the better result on a different range. The first one is inspired by the proof of the standard mean value theorem for Dirichlet polynomials. The second approach, superior for large $T$, is based on classical lines, starting with an approximation to $\zeta$ via Euler-Maclaurin. Both bounds give main terms of the correct order for $0<\sigma\leq 1$ and are strong enough to be of practical use for the rigorous computation of improper integrals. We also present bounds for the $L^{2}$ norm of $\zeta$ in $[1,T]$ for $0\leq\sigma\leq 1$.

연구 동기 및 목표

• 해석적 수론에서의 비정상 적분 계산을 지원하기 위해, $0 < \sigma \leq 1$ 인 경우에 대해 수직선 $\Re(s) = \sigma$ 상에서 $\zeta(s)$의 $L^2$-노름 尾함수에 대한 명시적이고 수치적으로 검증 가능한 상한을 제공하는 것.
• 특히 제타 함수의 곱을 포함하는 적분을 평가하는 데 응용되는 역 메린 변환 등 응용 분야에서 효과적인 상한이 필요한 점을 해결하는 것.
• 기존의 볼록성 및 부분볼록성 상한을 초월하여, 특히 대규모 $T$ 에서 더 강력한 $L^2$-노름 추정치를 제공하는 명시적 상수를 도출하는 것.
• 모든 유도 과정과 오차 추정치에서 ARB 라이브러리를 이용한 간격 산술을 적용하여 수치적 엄밀성을 확보하는 것.

제안 방법

• 첫 번째 방법은 메린 변환의 등장성 성질을 이용하여, $[T, \infty)$ 상에서 $\zeta(\sigma + it)$의 $L^2$-노름을 상한화하며, $0 < \sigma \leq 1$ 인 경우에 주항상수의 순서가 올바른 상한을 도출한다.
• 두 번째 방법은 오일러-매클로린 합산 공식을 적용하여 $\zeta(\sigma + it)$를 근사하고, 적분에 의한 상한화를 통해 尾함수의 $L^2$-노름을 정밀하게 추정한다.
• $\sigma = 1/2$ 인 경우, 아트킨슨 공식과 리만-시겔 공식에서 알려진 결과를 활용하며, 상쇄 효과에 의존하지 않고 모든 항을 추정한다.
• $\sigma < 1/2$ 인 경우, $\zeta(s)$의 함수방정식을 이용하여 $\zeta(\sigma + it)$를 $\zeta(1 - \sigma - it)$로 연결함으로써, $\sigma > 1/2$ 영역에서의 상한을 전이할 수 있다.
• 베르누이 다항식과 그 도함수에 대한 명시적 상한을 사용하여 오차 항을 제어하며, 알려진 제타 함수 값과 특수함수를 바탕으로 상수를 도출한다.
• 모든 상한은 ARB 라이브러리를 이용한 간격 산술을 통해 검증되어 수치적 엄밀성과 명시적 오차 제어를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 $T$ 와 $0 < \sigma \leq 1$ 인 경우에 대해, $\int_T^\infty |\zeta(\sigma + it)|^2 / |\sigma + it|^2 \, dt$ 의 가장 날카로운 명시적 $L^2$ 상한은 무엇인가?
• RQ2 오일러-매클로린과 메린 변환 기법을 사용하여, $\zeta(\sigma + it)$의 $[T, \infty)$ 상에서의 $L^2$-노름에 대해 명시적 상수를 포함한 상한을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 간격 산술을 통해 $\zeta(\sigma + it)$의 $L^2$-노름 추정치의 오차 항을 명시적이고 수치적으로 검증 가능하게 만들 수 있는가?
• RQ4 각 경우에서 두 번째 상한(정리 4.6에서 유도)이 첫 번째 상한(정리 3.1에서 유도)보다 강력해지는 $T$ 의 값은 무엇이며, 이 임계점은 $\sigma$ 에 따라 어떻게 변하는가?
• RQ5 기존의 근사 함수방정식이나 리만-시겔 공식을 얼마나 명시적으로 다룰 수 있는가를 통해 $L^2$-노름 상한을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 표본 $\sigma = 1$ 인 경우, $T \geq 200$ 에서 $\int_T^\infty |\zeta(1 + it)|^2 / |1 + it|^2 \, dt$ 는 $\frac{\pi^2}{6T} + \frac{28.29 \log T}{T^2}$ 로 상한이 되며, 주항상수는 알려진 잔여기여와 일致한다.
• $\frac{1}{2} < \sigma < 1$ 인 경우, $T \geq 200$ 에서 $\frac{3\pi \zeta(2\sigma)}{5T} + \left(18.98 - \frac{0.61}{\sigma - \frac{1}{2}} \right) \frac{1}{T^{2\sigma}}$ 의 상한이 성립하며, 渐近적으로 두 번째 항이 지배한다.
• $\sigma = \frac{1}{2}$ 인 경우, $T \geq 200$ 에서는 $\frac{3\pi}{5} \frac{1}{T} \log T + \frac{7.72}{T}$ 의 상한이 존재하지만, $T \geq 10^{40}$ 에서는 $\frac{1}{T} \log T + \frac{9.19 \sqrt{1}}{T}$ 로 향상되어 강력한 渐近적 제어를 보여준다.
• $0 < \sigma < \frac{1}{2}$ 인 경우, $T \geq 200$ 에서 $\left(\frac{0.5}{\sigma} + \frac{0.95}{\frac{1}{2} - \sigma} + 5.62 \right) \frac{1}{T^{2\sigma}} - 2.55 \zeta(2\sigma) \frac{1}{T}$ 의 상한이 유효하며, $T \to \infty$ 일 때 첫 번째 항이 지배한다.
• $\sigma = 0$ 인 경우, 적분은 발산하며, 주항상수는 $\frac{\pi^2}{12} \log T$ 와 유사하게 행동하므로, 수렴을 위해 $\sigma > 0$ 가 필수적임을 확인한다.
• 두 번째 상한이 첫 번째 상한보다 강력해지는 임계점은 명시적으로 계산되었으며, 예를 들어 $\sigma = 0.59$ 에서는 $T \approx 297$ 에서 전환되고, $\sigma = 0.45$ 에서는 $T \approx 1.43 \times 10^{20}$ 에서 전환되며, 이는 향상된 상한의 실용적 유용성을 보여준다.