[논문 리뷰] Exploring the Use of Shatter for AllSAT Through Ramsey-Type Problems

David E. Narváez|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 17.

Constraint Satisfaction and Optimization인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 CNF 공식에 대한 대칭성 깨기 도구인 Shatter를 램지 유형의 그래프 문제에서 엣지 색칠을 완전히 생성하는 AllSAT 문제의 맥락에서 조사한다. 두 가지 핵심 문제를 밝혀내며, Shatter는 변수 할당을 완화함으로써 모델 수를 증가시킬 수 있고, 특정 엣지가 단색 부분그래프에 포함되지 않을 경우 색칠 집합이 불완전해질 수 있다. 본 연구는 이러한 문제를 완화하기 위한 전략을 제안하여 대칭성 있는 부울 공식에 대한 AllSAT 워크플로우에서 완전성과 효율성을 확보한다.

ABSTRACT

In the context of SAT solvers, Shatter is a popular tool for symmetry breaking on CNF formulas. Nevertheless, little has been said about its use in the context of AllSAT problems: problems where we are interested in listing all the models of a Boolean formula. AllSAT has gained much popularity in recent years due to its many applications in domains like model checking, data mining, etc. One example of a particularly transparent application of AllSAT to other fields of computer science is computational Ramsey theory. In this paper we study the effect of incorporating Shatter to the workflow of using Boolean formulas to generate all possible edge colorings of a graph avoiding prescribed monochromatic subgraphs. Generating complete sets of colorings is an important building block in computational Ramsey theory. We identify two drawbacks in the na\"ive use of Shatter to break the symmetries of Boolean formulas encoding Ramsey-type problems for graphs: a "blow-up" in the number of models and the generation of incomplete sets of colorings. The issues presented in this work are not intended to discourage the use of Shatter as a preprocessing tool for AllSAT problems in combinatorial computing but to help researchers properly use this tool by avoiding these potential pitfalls. To this end, we provide strategies and additional tools to cope with the negative effects of using Shatter for AllSAT. While the specific application addressed in this paper is that of Ramsey-type problems, the analysis we carry out applies to many other areas in which highly-symmetrical Boolean formulas arise and we wish to find all of their models.

연구 동기 및 목표

• 대칭성이 높은 조합 문제에서 AllSAT 솔버의 사전처리 도구로 Shatter를 사용할 때의 영향을 분석하기 위해.
• Shatter를 램지 유형 공식에 적용할 때 발생하는 두 가지 주요 단점인 모델 수 증가 및 색칠 집합의 불완전성을 특정하고 설명하기 위해.
• 대칭성 깨기 사전처리를 사용할 때 AllSAT 출력의 완전성과 중복 제거를 유지하기 위한 전략과 도구를 제공하기 위해.
• Shatter의 기본 동작 방식이 그래프 램지 문제에서 완전하고 중복 없는 색칠 집합을 생성하는 데 부적합함을 입증하기 위해.
• 높은 대칭성 영역에서 AllSAT 워크로드에 대칭성 깨기 도구를 적절히 적용할 수 있도록 연구자들을 안내하기 위해.

제안 방법

• F ↛ (G, H)의 비화살표 성질을 나타내는 CNF 공식에 Shatter를 적용하며, 여기서 F는 그래프이고 G, H는 목표 부분그래프이다.
• Shatter의 변수 완화 영향—자유 변수를 ⊥으로 고정하는 것—을 분석하여 AllSAT 출력의 모델 수와 완전성에 미치는 영향을 평가한다.
• 불완전성의 충분조건을 제시한다: G 또는 H에서 F로의 부분그래프 동형사상에 포함되지 않는 엣지는 자유 변수가 되며, 이로 인해 색칠이 손실된다.
• 관련 부분그래프 동형사상에 참여하는 엣지만을 변수로 제한하는 수정된 공식을 제안하여 완전성 향상을 도모한다.
• Kex (K8에서 한 정점을 차수 2로 줄인 그래프)를 반례로 사용하여 자유 변수가 없더라도 불완전성이 발생할 수 있음을 입증한다.
• 대칭성이 존재하는 상황에서 중복 모델을 줄이기 위해 clasp의 프로젝티브 열거 기능의 효과를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Shatter의 대칭성 깨기 사전처리가 AllSAT 문제의 만족 가능한 할당 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 Shatter가 램지 유형 문제에서 엣지 색칠 집합이 불완전해지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 모노크로마틱 부분그래프 동형사상에 참여하는 엣지만을 변수 집합으로 제한함으로써 불완전성 문제를 피할 수 있는가?
• RQ4 기본 공식에서 변수가 자유가 아니더라도 불완전성이 지속되는 이유는 무엇인가?
• RQ5 AllSAT 워크플로우에서 대칭성 깨기 도구를 활용하면서도 완전성을 유지할 수 있는 대안 전략은 무엇인가?

주요 결과

• Shatter는 자유 변수를 ⊥으로 완화함으로써 AllSAT 출력의 모델 수를 증가시켜 새로운 중복 솔루션을 도입할 수 있다.
• G 또는 H에서 F로의 부분그래프 동형사상에 포함되지 않는 엣지는 원래 공식에서 자유 변수가 되며, Shatter는 이를 ⊥으로 고정함으로써 유효한 색칠을 손실시킬 수 있다.
• 불완전성의 충분조건을 규명하였다: 엣지 e가 G 또는 H에서 F로의 부분그래프 동형사상의 이미지에 포함되지 않으면, e를 ⊤로 할당하는 색칠은 Shatter 사전처리 후에 손실될 수 있다.
• 자유 변수가 없더라도 불완전성은 발생할 수 있다—Kex 그래프를 통해 Shatter가 유효한 색칠의 90개 동형사상 클래스 중 26개를 놓친 것으로 입증되었다.
• clasp의 프로젝티브 열거 기능을 사용하면 중복 모델을 줄이는 데 도움이 되며, 이는 모델 과다 발생 문제에 대한 부분적인 해결책이 된다.
• 논문은 Shatter가 사후 처리 없이 AllSAT에 적합하지 않으며, 비완화 대칭성 깨기 기능을 제공하는 BreakID와 같은 대안 도구가 더 적합할 수 있음을 결론 내린다.