[논문 리뷰] Exponential estimates for plurisubharmonic functions and stochastic dynamics

Tien‐Cuong Dinh, Viêt‐Anh Nguyên외 1명|ArXiv.org|2008. 01. 13.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 29인용 수 37

한 줄 요약

이 논문은 복소 프로젝티브 공간에서의 복소다양체 동역학의 평형측도에 대해, 호일더 연속 잠재력과 함께 몽제-암페르 측도에 대한 다수의 하르모닉 함수에 대한 지수적 추정을 수립하며, 강한 확률적 성질—상관관계의 지수적 감쇠, 중심극한정리, 대 deviations 정리—의 증명을 가능하게 한다. 주요 기여는 복소다양체 동역학과 확률적 극한법칙을 복소포텐셜 이론을 통해 연결하는 일반적 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We prove exponential estimates for plurisubharmonic functions with respect to Monge-Ampere measures with Holder continuous potential. As an application, we obtain several stochastic properties for the equilibrium measures associated to holomorphic maps on projective spaces. More precisely, we prove the exponential decay of correlations, the central limit theorem for general d.s.h. observables, and the large deviations theorem for bounded d.s.h. observables and Holder continuous observables.

연구 동기 및 목표

• 다수의 하르모닉 함수에 대해 호일더 연속 잠재력을 갖는 측도에 대해 지수적 적분 추정을 수립하기.
• 이러한 추정을 복소프로젝티브 공간에서의 호르몰로픽 맵의 평형측도에 적용하기.
• 다변수 복소다양체 동역계에서 상관관계의 지수적 감쇠, 중심극한정리, 대 deviations 정리를 증명하기.
• 복소다양체 동역계에서 일반적인 d.s.h. 및 호일더 연속 관측량에 대해 확률적 극한법칙을 확장하기.
• 복소포텐셜 이론과 호르몰로픽 동역계에서의 확률적 성질을 연결하는 일반적 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 만일 $ S $ 가 국소적으로 중간인 양의 폐쇄형인 현재이고 $ u $ 가 $ S $-p.s.h. 함수로서 호일더 연속이면, $ dd^c(uS) $ 도 국소적으로 중간임을 증명하기.
• 몽제-암페르 측도에 대해 $ e^{-\alpha\psi} $ 의 지수적 적분성을 이용하여 동역계에 대한 감쇠 추정 유도하기.
• 벤넷의 부등식과 체이닝 추론을 적용하여 관측량의 비어 있는 합의 尾행동 제어하기.
• 반복된 전이 연산자의 모멘트 조건 하에 일반적인 추상적 대 deviations 정리 증명하기.
• 복소프로젝티브 공간 $ \mathbb{P}^k $ 에서 그린 현재 $ T $ 의 호일더 연속 잠재력 존재성을 활용하여 그린 측도 $ \mu = T^k $ 를 정의하고 그 확률적 성질 분석하기.
• 현재에 대한 역상 작용 $ f^* $ 와 수렴 $ d^{-n}(f^n)^*\omega_{\rm FS} \to T $ 를 이용하여 불변 측도를 구성하고 혼합 성질 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소다양체 동역계에서 호일더 연속 잠재력을 갖는 몽제-암페르 측도에 대해 다수의 하르모닉 함수에 대한 지수적 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 복소프로젝티브 공간 $ \mathbb{P}^k $ 에서의 호르몰로픽 맵의 평형측도가 일반적인 d.s.h. 관측량에 대해 상관관계의 지수적 감쇠를 보이는가?
• RQ3 복소프로젝티브 공간 $ \mathbb{P}^k $ 에서의 호르몰로픽 엔도모르피즘의 평형측도 하에서 d.s.h. 관측량에 대해 중심극한정리가 성립하는가?
• RQ4 제한된 d.s.h. 및 호일더 연속 관측량에 대해 복소다양체 동역계에서 대 deviations 정리를 증명할 수 있는가?
• RQ5 현재 및 측도의 국소적 중간 성질이 복소다양체 동역계에서의 확률적 극한법칙 수립에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 $ u $ 가 호일더 연속 p.s.h. 함수이면 몽제-암페르 현재 $ (dd^c u)^p $ 가 국소적으로 중간임을 증명하며, 이는 지수 함수의 적분 가능성 보장한다.
• 복소프로젝티브 공간 $ \mathbb{P}^k $ 에서의 호르몰로픽 맵에 대해 그린 측도 $ \mu = T^k $ 는 d.s.h. 관측량에 대해 상관관계의 지수적 감쇠를 만족한다.
• 주어진 동역계 조건 하에서 평형측도 $ \mu $ 에 대해 모든 d.s.h. 관측량에 대해 중심극한정리가 성립한다.
• 제한된 d.s.h. 및 호일더 연속 관측량에 대해 대 deviations 정리가 증명되었으며, 속도는 $ e^{-n(\log n)^{-2}h_\epsilon} $ 의 순서이다.
• 결과는 차원 1로의 확장이 가능하며, 그 조건에서도 이전에 알려진 것보다 더 강한 감쇠 속도를 제공한다.
• 전이 연산자의 수반의 모멘트 조건 하에 일반화된 추상적 대 deviations 정리가 증명되었으며, 이는 동역계 설정을 일반화한다.