[논문 리뷰] EXPONENTIAL INTEGRABILITY IN THE SPIRIT OF MOSER-TRUDINGER'S INEQUALITIES OF FUNCTIONS WITH FINITE NON-LOCAL, NON-CONVEX ENERGY

Arka Mallick, Hoài-Minh Nguyên|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 34인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 비국소적이고 비볼록적인 에너지가 유한한 함수에 대해 이중 적분을 통해 정의된 차분 |u(x)−u(y)|>δ를 포함하는 형태로, 모저-트루딩거 유형 부등식을 비국소적 환경으로 확장하여 지수적 적분 가능성 추정을 수립한다. p ≥ d 인 경우, 이러한 함수는 L^p 공간 내에서 최적의 지수적 적분 가능성을 만족하며, 이는 비국소 에너지 Iδ,p에 의존하는 상한을 가진다. 또한 지수 가중치의 최적성에 대한 극한 함수를 구성하여 이를 입증한다.

ABSTRACT

Let $d \ge 1$, $p \ge d$, and let $Ω$ be a smooth bounded open subset of $\mathbb{R}^d$. We prove some exponential integrability in the spirit of Moser-Trudinger's inequalities for measurable functions $u$ defined in $Ω$ such that $$ \mathop{\int_Ω \int_Ω}_{|u(x) - u(y)| > δ} \frac{1}{|x-y|^{d+p}} \, dx \, dy < + \infty, $$ for some $δ> 0$. This double integral appeared in characterizations of Sobolev spaces and involved in improvements of the Sobolev inequaliies, Poincaré inequalities, and Hardy inequalities.

연구 동기 및 목표

• L^p(Ω)에 속하는 함수 u에 대해 유한한 비국소 에너지 Iδ,p(u, Ω)를 가진 경우, 고전적인 모저-트루딩거 부등식을 비국소적이고 비볼록적인 설정으로 확장하여 최적의 지수적 적분 가능성 추정을 수립하는 것.
• 유한한 비국소 에너지 Iδ,p(u, Ω)를 가진 함수가 존-니레버그 부등식이 암시하는 BMO 유형 제어보다 더 좋은 적분 가능성을 보이는지 조사하는 것.
• 특히 p ≥ d 인 경우에 대해 이러한 함수의 지수적 적분 가능성에 대한 최적의 지수를 결정하는 것.
• 비국소 설정에서 지수적 적분 가능성 결과의 최적성에 대한 극한 함수를 구성하여 입증하는 것.

제안 방법

• 비국소 에너지 Iδ,p(u, Ω) = ∫∫_{|u(x)−u(y)|>δ} δ^p / |x−y|^{d+p} dx dy 를 정의하여, Γ-수렴을 통한 소볼레프 공간과 BV 공간의 특성화를 수행한다.
• 피앙카레 유형 부등식 (1.7)과 페퍼만-스타인의 최적 함수 이론을 사용하여 진동을 제어하고 L^p 상한을 유도한다.
• 절단 방법과 존-니레버그 부등식을 적용하여 BMO 노름을 제어하고, 존-니레버그 결과를 통해 지수적 적분 가능성을 도출한다.
• 반경형 시험 함수 u(x) = g(|x|) 를 구성하여 g(r) = (ln λ)^{-1} ln ln(1/r) 이 되도록 하여, ∫_B e^{αγg} dx = ∞ 임을 보여 지수 가중치의 최적성을 입증한다.
• 극좌표와 점근적 분석을 사용하여 Iδ,p(u, B)를 추정하고, Iδ,p가 임의로 작게 만들 수 있음에도 불구하고 지수 적분이 여전히 무한함을 보여준다.
• I1,d(un, B1/e) → 0 이지만 ∫ e^{αγgn} dx → ∞ 가 되는 함수의 수열 un 을 구성함으로써 지수 가중치의 최적성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 비국소 에너지 Iδ,p(u, Ω)를 가진 함수에 대해, 그 기울기가 L^p 에 속하지 않더라도 지수적 적분 가능성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 Iδ,p(u, Ω) < ∞ 인 조건 하에서 ∫_Ω e^{α|u|} dx 가 유한한 지수 α 는 무엇인가? 이는 지수 가중치 e^{α|u|} 에서의 최적 지수이다.
• RQ3 지수적 적분 가능성 결과는 최적인가? 임의로 작은 Iδ,p 를 가진 함수이지만 지수 적분은 무한한 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ4 비국소 에너지 Iδ,p 는 BMO 노름을 어떻게 제어하며, 이를 통해 존-니레버그 부등식을 통해 지수적 적분 가능성을 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• p ≥ d 이고 u ∈ L^p(Ω) 이며 Iδ,p(u, Ω) < ∞ 이면, 함수 u 는 지수적 적분 가능성을 만족한다: ∫_B e^{α(p/d)|u|} dx ≤ C 를 만족하며, 여기서 α > 0 이고 C 는 d 와 Ω 에만 의존한다.
• 지수 가중치의 지수 α(p/d) 는 최적이다: 임의의 α > 0 에 대해, Iδ,p(u, Ω) < ∞ 이지만 ∫_B e^{α|u|} dx = ∞ 인 함수 u ∈ L^p(Ω) 가 존재한다.
• 극한 함수는 반경형 프로파일 g(r) = (ln λ)^{-1} ln ln(1/r) 을 통해 구성되며, γ > p/d 이면 ∫_B e^{αγg} dx = ∞ 임을 보여 지수의 최적성을 입증한다.
• 임의의 M > 0 에 대해, Iδ,p(u, B1/e) ≤ M 이지만 ∫_B e^{αγg} dx = ∞ 임을 만족하는 함수 u 가 존재한다. 이는 비국소 에너지가 지수 적분을 균일하게 제어하지 못함을 보여준다.
• I1,d(un, B1/e) → 0 이지만 ∫ e^{αγgn} dx → ∞ 가 되는 수열 un 을 구성함으로써 지수의 최적성이 확인된다. 이는 상한을 더 이상 향상시킬 수 없음을 보여준다.
• 결과는 고전적인 모저-트루딩거 부등식을 비국소적이고 비볼록적인 에너지로 확장하여, 새로운 유형의 최적 지수적 적분 가능성 추정을 제공한다.