[논문 리뷰] Exponential quantum speed-ups are generic

Fernando G. S. L. Brandão, Michał Horodecki|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 54인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 지수적 양자 속도 향상이 일반적임을 보여준다: 거의 모든 장기간의 양자 회로는 블랙박스 문제를 일정한 양자 쿼리로 해결할 수 있으며, 이는 고전적 계산—심지어 후행선별(postselection)을 허용하더라도—지수적으로 더 많은 쿼리가 필요로 함을 의미한다. 이 결과는 랜덤 선형 크기의 양자 회로가 약한 유니터리 3-디자인을 형성한다는 것을 보여주는 데 기반하며, 이는 아론슨(Aaronson)의 구성 방식을 통해 지수적 양자-고전 쿼리 복잡도 격차를 가능하게 한다.

ABSTRACT

A central problem in quantum computation is to understand which quantum circuits are useful for exponential speed-ups over classical computation. We address this question in the setting of query complexity and show that for almost any sufficiently long quantum circuit one can construct a black-box problem which is solved by the circuit with a constant number of quantum queries, but which requires exponentially many classical queries, even if the classical machine has the ability to postselect. We prove the result in two steps. In the first, we show that almost any element of an approximate unitary 3-design is useful to solve a certain black-box problem efficiently. The problem is based on a recent oracle construction of Aaronson and gives an exponential separation between quantum and classical post-selected bounded-error query complexities. In the second step, which may be of independent interest, we prove that linear-sized random quantum circuits give an approximate unitary 3-design. The key ingredient in the proof is a technique from quantum many-body theory to lower bound the spectral gap of local quantum Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 쿼리 복잡도 모델에서 양자 회로가 고전적 계산보다 지수적 속도 향상을 제공할 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 이러한 속도 향상이 일반적인 양자 회로에 비해 희귀한지 여부를 조사하는 것.
• 랜덤 양자 회로와 약한 유니터리 3-디자인 간의 연결 고리를 설정하여 지수적 속도 향상의 길을 마련하는 것.
• 선형 크기의 랜덤 양자 회로가 약한 유니터리 3-디자인을 생성함을 증명하여, 어려운 블랙박스 문제를 구성할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 아론슨이 최근 제안한 오라클 구성 방식을 활용하여, 유한 오류 쿼리 복잡도에서 지수적 양자-고전 간 격차를 가진 블랙박스 문제를 정의하는 것.
• 약한 유니터리 3-디자인의 임의의 원소가 이 블랙박스 문제를 일정한 수의 양자 쿼리로 효율적으로 해결할 수 있음을 보이는 것.
• 양자 다체 이론 기법을 사용하여 선형 크기의 랜덤 양자 회로가 약한 유니터리 3-디자인을 형성함을 증명하는 것.
• 국소 양자 하미르토니안의 스펙트럴 간격을 경계하여, 랜덤 회로가 약한 3-디자인으로 수렴함을 확립하는 것.
• 스펙트럴 간격의 하한을 이용해 일반적인 랜덤 회로가 지수적 속도 향상을 위한 필요한 디자인 성질을 달성함을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 양자 회로에 대해 지수적 양자 속도 향상은 희귀한가, 아니면 일반적인가?
• RQ2 거의 모든 충분히 긴 양자 회로는 일정한 수의 양자 쿼리로 블랙박스 문제를 해결하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 랜덤 양자 회로와 약한 유니터리 t-디자인 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 일정한 양자 쿼리로 해결 가능한 문제에 대해, 후행선별 기능을 갖춘 고전적 기계는 쿼리 복잡도 격차를 크게 줄일 수 있는가?
• RQ5 국소 하미르토니안의 스펙트럴 간격 분석을 통해, 랜덤 양자 회로에서 유니터리 디자인으로의 수렴을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 거의 모든 충분히 긴 양자 회로는 특정한 블랙박스 문제에 대해 지수적 양자 속도 향상을 가능하게 한다.
• 약한 유니터리 3-디자인의 임의의 원소는 일정한 수의 양자 쿼리로 블랙박스 문제를 해결할 수 있다.
• 선형 크기의 랜덤 양자 회로는 약한 유니터리 3-디자인을 형성하며, 이러한 회로의 일반성을 입증한다.
• 동일한 문제에 대해 고전적 쿼리 복잡도는 여전히 지수적이며, 고전적 기계가 후행선별을 허용하더라도 마찬가지다.
• 양자 다체 이론 기법을 사용하여 국소 양자 하미르토니안의 스펙트럴 간격을 경계함으로써, 3-디자인 성질 증명이 가능해졌다.
• 결과적으로 지수적 속도 향상은 특수하게 설계된 회로에 국한되지 않고, 일반적인 랜덤 양자 회로에서도 일반적임을 보여준다.