[논문 리뷰] Exponential Sums, Cyclic Codes and Sequences: the Odd Characteristic Kasami Case

Jinquan Luo, Yuansheng Tang외 1명|ArXiv.org|2009. 02. 26.

Coding theory and cryptography참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 홀수 특성의 유한체 위에서 추적 함수를 포함하는 지수합의 값 분포를 결정한다. 특히, $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1})}$ 및 $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1} + \gamma x)}$ 형태의 합에 대해 다루며, 여기서 $q = p^n$, $n = 2m$, $k \neq m$이다. 주요 기여는 이러한 합의 명시적 평가로, 이는 $\mathbb{F}_{p^t}$ 위의 두 순환 코드 $\mathcal{C}_1$와 $\mathcal{C}_2$의 무게 분포 및 m-시퀀스 가족 간 상관 분포를 결정하는 데 기여한다.

ABSTRACT

Let $q=p^n$ with $n=2m$ and $p$ be an odd prime. Let $0\leq k\leq n-1$ and $k eq m$. In this paper we determine the value distribution of following exponential(character) sums \[\sum\limits_{x\in \bF_q}ζ_p^{\Tra_1^m (αx^{p^{m}+1})+\Tra_1^n(βx^{p^k+1})}\quad(α\in \bF_{p^m},β\in \bF_{q})\] and \[\sum\limits_{x\in \bF_q}ζ_p^{\Tra_1^m (αx^{p^{m}+1})+\Tra_1^n(βx^{p^k+1}+\ga x)}\quad(α\in \bF_{p^m},β,\ga\in \bF_{q})\] where $\Tra_1^n: \bF_q a \bF_p$ and $\Tra_1^m: \bF_{p^m} a\bF_p$ are the canonical trace mappings and $ζ_p=e^{\frac{2πi}{p}}$ is a primitive $p$-th root of unity. As applications: (1). We determine the weight distribution of the cyclic codes $\cC_1$ and $\cC_2$ over $\bF_{p^t}$ with parity-check polynomials $h_2(x)h_3(x)$ and $h_1(x)h_2(x)h_3(x)$ respectively where $t$ is a divisor of $d=\gcd(m,k)$, and $h_1(x)$, $h_2(x)$ and $h_3(x)$ are the minimal polynomials of $π^{-1}$, $π^{-(p^k+1)}$ and $π^{-(p^m+1)}$ over $\bF_{p^t}$ respectively for a primitive element $π$ of $\bF_q$. (2). We determine the correlation distribution among a family of m-sequences. This paper extends the results in \cite{Zen Li}.

연구 동기 및 목표

• 특정 지수합의 값 분포를 홀수 특성의 유한체 위에서 결정하기.
• 주어진 부호 검사 다항식을 가진 $\mathbb{F}_{p^t}$ 위의 순환 코드 $\mathcal{C}_1$와 $\mathcal{C}_2$의 무게 분포를 유도하기.
• 평가된 지수합을 이용하여 m-시퀀스 가족 간의 상관 분포를 분석하기.
• 특히 참고 문헌 [30]의 결과를 홀수 특성의 카사미 케이스로 일반화하기.

제안 방법

• 논문은 $\mathrm{Tr}_1^n: \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_p$ 및 $\mathrm{Tr}_1^m: \mathbb{F}_{p^m} \to \mathbb{F}_p$의 추적 사상과 $\zeta_p = e^{2\pi i / p}$를 사용하여 $\mathbb{F}_q = \mathbb{F}_{p^n}$, $n = 2m$, $p$ 홀수에서 지수합을 평가한다.
• 특히 이차 가우스 합과 레지오드 기호 $\eta_0(\omega)$를 활용한 가우스 합과 캐릭터 합의 성질을 적용하여, 관련 방정식의 해 존재 조건에 따라 합을 평가한다.
• 해의 존재 여부와 $s-i$ 및 $d/t$의 기수성에 따라 $\mathbb{F}_q$에서 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$의 해를 분류하는 방법을 사용한다. 여기서 $d = \gcd(k,m)$, $s = n/d$이다.
• 코드워드 무게를 지수합과 연결하기 위해 추적 사상 $\mathrm{Tr}_t^n$을 사용하며, 코드워드의 해밍 무게를 $w_H(c) = p^{n-t}(p^t - 1) - \frac{1}{p^t} \sum_{a \in \mathbb{F}_{p^t}^*} S(a\alpha_1, \dots, a\alpha_u)$로 표현한다. 여기서 $S$는 지수합이다.
• 해의 존재 여부에 따라 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$의 해가 존재하는지 여부에 따라 $R(\alpha,\beta,\gamma) = \sum_{\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*} S(\omega\alpha, \omega\beta, \omega\gamma)$의 평가가 달라지며, 이는 다양한 조건에 따라 다르게 평가된다.
• 캐릭터 합과 가우스 합 이론의 결과, 특히 비자명한 이차 캐릭터 $\eta'$에 대해 $\sum_{\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*} \eta'(\omega) = 0$임을 응용하여 합의 정확한 값을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 특성의 유한체에서 $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1})}$의 값 분포는 무엇인가? 여기서 $\alpha \in \mathbb{F}_{p^m}$, $\beta \in \mathbb{F}_q$, $q = p^n$, $n = 2m$, $p$ 홀수, $k \neq m$이다.
• RQ2 지수에 선형 항 $\gamma x$가 포함될 경우, $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1} + \gamma x)}$의 값 분포는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 최소 다항식 $h_2(x)$와 $h_3(x)$가 각각 $\pi^{-(p^k+1)}$ 및 $\pi^{-(p^m+1)}$에 대한 $\mathbb{F}_{p^t}$ 위에서 정의된 순환 코드 $\mathcal{C}_1$의 무게 분포는 무엇인가? 여기서 부호 검사 다항식은 $h_2(x)h_3(x)$이다.
• RQ4 최소 다항식 $h_1(x)$가 $\pi^{-1}$에 대한 $\mathbb{F}_{p^t}$ 위에서 정의된 순환 코드 $\mathcal{C}_2$의 무게 분포는 무엇인가? 여기서 부호 검사 다항식은 $h_1(x)h_2(x)h_3(x)$이다.
• RQ5 논문에서 다룬 지수합을 바탕으로 유도된 m-시퀀스 가족 간의 상관 분포는 무엇인가?

주요 결과

• 지수합 $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1})}$의 값 분포는 완전히 결정되었으며, 매개변수와 해 존재 조건에 따라 값이 $\{0, \pm p^{m + \frac{id}{2}}, \pm p^{m + \frac{id + t}{2}}\}$ 범위에 속한다.
• 만약 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$이 $\mathbb{F}_q$에 해를 가진다면, 합 $R(\alpha,\beta,\gamma) = \sum_{\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*} S(\omega\alpha, \omega\beta, \omega\gamma)$는 $0$, $\varepsilon p^{m + \frac{id + t}{2}}$, 또는 $-\varepsilon p^{m + \frac{id + t}{2}}$로 평가되며, 이는 $s-i$와 $d/t$의 기수성 및 추적 값 $\vartheta = \mathrm{Tr}_t^m(\alpha x_0^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_t^n(\beta x_0^{p^k+1})$에 따라 달라진다.
• 만약 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$이 $\mathbb{F}_q$에 해를 가지지 않는다면, 모든 $\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*$에 대해 $S(\omega\alpha, \omega\beta, \omega\gamma) = 0$이므로 $R(\alpha,\beta,\gamma) = 0$이 되며, 이는 코드워드 무게가 $p^{n-t}(p^t - 1)$가 됨을 의미한다.
• $\mathcal{C}_1$의 무게 분포는 합 $T(\alpha,\beta)$로부터 도출되었으며, 코드워드 무게는 $\varepsilon = \pm 1$에 따라 $p^{n-t}(p^t - 1) \pm p^{m + \frac{id}{2}}$의 값을 가진다. 여기서 $i$는 관련 이차 형식의 질량과 관련된다.
• $\mathcal{C}_2$의 무게 분포는 $T(\alpha,\beta)$와 합 $R(\alpha,\beta,\gamma)$의 결과를 결합하여 완전히 결정되었으며, $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$의 해 존재 여부와 $s-i$, $d/t$의 기수성에 따라 달라지며, 형태는 $p^{n-t}(p^t - 1) \pm p^{m + \frac{id + t}{2}}$ 또는 $p^{n-t}(p^t - 1) \pm (p^t - 1)p^{m + \frac{id}{2}}$가 된다.
• 평가된 지수합을 활용하여 m-시퀀스 가족 간의 상관 분포가 명시적으로 결정되었으며, 이는 이전의 홀수 특성 카사미 케이스 결과를 확장한다.