[논문 리뷰] Exponential suppression of decoherence and relaxation of quantum systems using energy penalty

Iman Marvian|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 10.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 에너지 페널티 해밀토니안을 사용하여 양자 시스템에서 디코herence와 리 lapse 를 지수적으로 억제함을 보여준다. 이는 로지컬 큐비트가 기저 상태 부분공간에 보호되도록 한다. 섭동 이론을 통해 시스템-환경 상호작용을 엄밀히 분석함으로써, 무한한 온도 조건에서도 에너지 갭 대 환경 상호작용 비율의 지수적 스케일링에 따라 퍼지니스 손실이 억제됨을 증명한다. 또한 코드 공간 내에서 유니터리 진동을 유도하는 람브 시프트 효과를 고려한다.

ABSTRACT

One of the main methods for protecting quantum information against decoherence is to encode information in the ground subspace (or the low energy sector) of a Hamiltonian with a large energy gap which penalizes errors from environment. The protecting Hamiltonian is chosen such that its degenerate ground subspace is an error detecting code for the errors caused by the interaction with the environment. We consider environments with arbitrary number of local sites, e.g. spins, whose interactions among themselves are local and bounded. Then, assuming the system is interacting with a finite number of sites in the environment, we prove that, up to second order with respect to the coupling constant, decoherence and relaxation are suppressed by a factor which grows exponentially fast with the ratio of energy penalty to the norm of local interactions in the environment. The state may, however, still evolve unitarily inside the code subspace due to the Lamb shift effect. In the context of adiabatic quantum computation, this means that the evolution inside the code subspace is effectively governed by a renormalized Hamiltonian. The result is derived from first principles, without use of master equations or their assumptions, and holds even in the infinite temperature limit. We also prove that unbounded or non-local interactions in the environment at sites far from the system do not considerably modify the exponential suppression. Our main technical tool is a new bound on the decay of power spectral density at high frequencies for local observables and many-body Hamiltonians with bounded and local interactions in a neighborhood around the support of the observable.

연구 동기 및 목표

• 에너지 페널티 해밀토니안으로 보호되는 양자 시스템에서 디코herence와 리 lapse 의 지수적 억제를 엄밀히 입증하는 것.
• 이전 이론적 한계(스케일링이 $E_{\text{gap}}^{-2}$)와 수치적 관측 결과 간의 괴리, 즉 더 강한 억제가 관측되는 이유를 해결하는 것.
• 코드 부분공간 내에서 유니터리 진동을 유도하는 람브 시프트 효과를 고려하여, 난이도 있는 퍼지니스 한계가 무효화됨을 설명하는 것.
• 비유한 또는 비국소적 환경 상호작용이 지수적 억제에 크게 영향을 주지 않는다는 것을 증명하는 것.
• 특정 모델을 초월하여 에너지 페널티를 이용한 오류 억제에 적용 가능한 일반적인 섭동 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 연결 상수 $\lambda$ 에 대해 두 번째 차수까지의 시간에 따른 밀도 행렬의 섭동 전개를, 마스터 방정식 없이 첫 번째 원리에서 유도한다.
• 섭동 영역에서 오류 억제에 관한 새로운 정리를 도입하여, 에너지 페널티 보호 분석을 위한 공식적 프레임워크를 수립한다.
• 국소 관측량의 파wr 스펙트럼 밀도를 사용하여 고주파 성분 기여를 제한함으로써, 고속 진동이 국소 동역학에 미치는 영향이 미미하다는 직관을 수식화한다.
• 평형 상태 파워 스펙트럼 밀도 $P_B^{\text{eq}}(\omega)$ 에 대한 바인딩을 적용하여, 에너지 갭 $E_{\text{gap}}$ 이 증가함에 따라 지수적으로 감소함을 보인다.
• 환경 모드의 에너지 $E_n \geq E_{\text{gap}}$ 에 대한 시스템 반응을 수량화하는 $b_n(t)$ 의 최댓값을 사용하여 퍼지니스 손실의 상한을 유도하고, $E_{\text{gap}}/J_{\text{max}}$ 에 대해 지수적 억제가 일어남을 보인다.
• 람브 시프트 효과가 코드 부분공간 내에서 유니터리 진동을 유도함을 보이며, 이는 초기 상태를 완전히 복원하기 위해 보정이 필요함을 시사한다. 이를 忽시할 경우 오직 $E_{\text{gap}}^{-1}$ 의 억제 수준에 그친다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 환경 조건 하에서 에너지 페널티를 가진 양자 시스템에 대해 디코herence 의 지수적 억제를 엄밀히 증명할 수 있는가?
• RQ2 왜 수치 시뮬레이션에서는 이전의 $E_{\text{gap}}^{-2}$ 한계보다 더 강한 억제가 관측되는가?
• RQ3 람브 시프트 효과는 코드 부분공간 내 효과적 동역학에 어떤 영향을 미치며, 이를 고려하지 않으면 왜 문제가 되는가?
• RQ4 환경에 비국소적 또는 비유한 상호작용이 존재할 경우, 오류의 지수적 억제가 무효화되는가?
• RQ5 환경 파wer 스펙트럼의 고주파 성분은 어떤 역할을 하는가? 그리고 이를 엄밀히 제한할 수 있는가?

주요 결과

• 퍼지니스 손실은 비율 $E_{\text{gap}}/(16J_{\text{max}}rk)$ 에 대해 지수적으로 증가하는 요소에 의해 억제되며, 여기서 $J_{\text{max}}$ 는 최대 국소 상호작용 강도이고 $r,k$ 는 환경의 구조와 관련된 매개변수이다.
• 억제 요소에 $\frac{2^{R_{\text{I}}/rk}+1}{\text{Exp}_l\left(\frac{E_{\text{gap}}}{16J_{\text{max}}rk}\right)}$ 라는 항이 포함되어 있으며, 이는 $E_{\text{gap}}$ 이 증가함에 따라 지수적으로 감소하여 강력한 억제를 이끈다.
• 람브 시프트 효과는 코드 부분공간 내에서 유니터리 진동을 유도하며, 이는 초기 상태를 완전히 복원하기 위해 반드시 보정되어야 한다. 이를 忽시할 경우 오직 $E_{\text{gap}}^{-1}$ 의 억제 수준에 그친다.
• 무한한 온도 조건에서도 지수적 억제가 유지됨을 보여, 보호 메커니즘이 강건함을 입증한다.
• 시스템에서 멀리 떨어진 환경의 비국소적 또는 비유한 상호작용은 국소 상호작용이 유한할 경우 지수적 억제를 크게 떨어뜨리지 않는다.
• 유도된 파워 스펙트럼 밀도 $P_B^{\text{eq}}(\omega)$ 의 바인딩은 고주파 환경 모드가 국소 관측량에 거의 영향을 주지 않음을 수식적으로 정립한다.