[논문 리뷰] Extended Backward Stochastic Volterra Integral Equations, Quasilinear Parabolic Equations, and Feynman-Kac Formula

Hanxiao Wang|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확장된 후행 확률적 볼테라 적분 방정식(EBSVIEs)을 통해 비국소 비선형 편미분방정식(non-local quasilinear parabolic PDEs)의 해에 대한 확률적 표현을 수립한다. 마리안 칼큘러스를 이용하여 EBSVIE 해의 잘 정의됨과 정칙성을 증명하고, 파르두-펜의 결과를 기울기 없는 및 시간에 일관되지 않은 설정으로 일반화한 비선형 페인만-카프 공식을 유도한다.

ABSTRACT

In this paper, we establish the relationship between backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs, for short) and a kind of non-local quasilinear (and possibly degenerate) parabolic equations. We first introduce the extended backward stochastic Volterra integral equations (EBSVIEs, for short). Under some mild conditions, we establish the well-posedness of EBSVIEs and obtain some regularity results of the adapted solution to the EBSVIEs via Malliavin calculus. We show that a given function expressed in terms of the solution to the EBSVIEs solves a certain system of non-local parabolic partial differential equations (PDEs, for short), which generalizes the famous nonlinear Feynman-Kac formula in Pardoux{Peng [21].

연구 동기 및 목표

• 확장된 후행 확률적 볼테라 적분 방정식(EBSVIEs)과 비국소 비선형 편미분방정식 사이의 연결 고리를 수립하기 위해.
• 마리안 칼큘러스를 이용하여 온화한 조건 하에서 EBSVIE의 적응해의 잘 정의됨과 정칙성을 증명하기 위해.
• 파르두-펜의 비선형 페인만-카프 공식을 시간에 일관되지 않거나 기울기 없는 확산 계수를 포함하도록 일반화하기 위해.
• EBSVIEs를 통해 비국소 편미분방정식의 고전적 해에 대한 확률적 표현을 제공하기 위해.
• 비국소 편미분방정식을 확률적 방정식을 통해 해결하기 위해 고전적 네 단계 기법을 볼테라 설정으로 확장하기 위해.

제안 방법

• EBSVIEs를 BSDEs와 BSVIEs의 일반화로 도입하며, 생성자(generator)가 시간 s와 r에서의 해에 의존함.
• 적응해를 진전 가능 측정 가능한 랜덤 필드 (Y(t,s), Z(t,s))로 정의하고, 이가 이토의 의미에서 적분 방정식을 만족함.
• 마리안 칼큘러스를 적용하여 해의 정칙성 특성, 특히 시간과 공간에서의 허더 연속성(Hölder continuity)을 도출함.
• 시간 이산화 방법을 사용하여 구간을 분할하고 해를 근사하며, 지배 수렴 정리(Dominated Convergence Theorem)를 적용함.
• 코모고로프 연속성 정리(Kolmogorov continuity theorem)를 이용하여 해와 그 도함수의 표본 경로 정칙성을 확립함.
• 극한 과정을 통해 함수 Θ(t,s,x) = Y(t,s)가 만족하는 편미분방정식을 도출하고, 이가 비국소 비선형 편미분방정식(non-Markovian 구조 포함)을 만족함을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 후행 확률적 볼테라 적분 방정식에 의해 이끄는 비국소 비선형 편미분방정식에 대해 일반화된 페인만-카프 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 EBSVIE의 적응해가 잘 정의되고 충분히 정칙한 조건은 무엇인가?
• RQ3 EBSVIE의 해가 기울기 있는 확산을 가진 비국소 편미분방정식의 고전적 해를 어떻게 표현하는가?
• RQ4 마리안 칼큘러스는 EBSVIE 해의 정칙성을 확립하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 EBSVIE 프레임워크는 고전적 네 단계 기법을 비마르코프 및 비국소 편미분방정식으로 어떻게 확장하는가?

주요 결과

• 식 (1.1)의 EBSVIE는 온화한 조건 하에서 잘 정의되어 있으며, 지정된 클래스 내에서 적응해 (Y, Z)는 존재하고 유일함.
• 해 Y(t,s)는 임의의 ε > 0에 대해 지수 1/2 - 1/p - ε를 가진 시간과 공간에서 허더 연속성임이 입증됨.
• 함수 Θ(t,s,x) = Y(t,s)는 생성자 g와 확산 계수 σ를 포함하는 비국소 비선형 편미분방정식 (5.1)을 만족함.
• EBSVIE의 해는 고전적 해에 대한 확률적 표현을 제공하며, 비선형 페인만-카프 공식을 일반화함.
• σ가 기울기일지라도, 이전 결과가 요구한 균일 타원성(uniform ellipticity) 조건이 필요 없이도 결과가 성립함.
• 고전적 해 Θ(t,s,x)는 C^{0,1,2}(Δ[0,T]×ℝ^d;ℝ^m)에 속함을 확인하여 해의 매끄러움과 편미분방정식에 대한 타당성을 입증함.