[论文解读] Extended TQFT's and Quantum Gravity

Jeffrey C. Morton|ArXiv.org|Sep 29, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 61被引用 6

一句话总结

本文将扩展的拓扑量子场论（TQFT）形式化为从2-流形的双范畴到2-向量空间双范畴的弱2-函子，利用有限群规范场论（Dijkgraaf-Witten模型）作为具体实现。通过在联络与规范变换的群胚上的Vect-值预层进行拉回与上推构造该理论，证明了弱2-函子的公理，并表明该构造恢复了3D量子引力（Ponzano-Regge模型）的物质耦合版本，且可能推广至李群。

ABSTRACT

This paper gives a definition of an extended topological quantum field theory (TQFT) as a weak 2-functor Z: nCob_2 -> 2Vect, by analogy with the description of a TQFT as a functor Z: nCob -> Vect. We also show how to obtain such a theory from any finite group G. This theory is related to a topological gauge theory, the Dijkgraaf-Witten model. To give this definition rigorously, we first define a bicategory of cobordisms between cobordisms. We also give some explicit description of a higher-categorical version of Vect, denoted 2Vect, a bicategory of "2-vector spaces". Along the way, we prove several results showing how to construct 2-vector spaces of "Vect-valued presheaves" on certain kinds of groupoids. In particular, we use the case when these are groupoids whose objects are connections, and whose morphisms are gauge transformations, on the manifolds on which the extended TQFT is to be defined. On cobordisms between these manifolds, we show how a construction of ``pullback and pushforward'' of presheaves gives both the morphisms and 2-morphisms in 2Vect for the extended TQFT, and that these satisfy the axioms for a weak 2-functor. Finally, we discuss the motivation for this research in terms of Quantum Gravity. If the results can be extended from a finite group G to a Lie group, then for some choices of G this theory will recover an existing theory of Euclidean quantum gravity in 3 dimensions. We suggest extensions of these ideas which may be useful to further this connection and apply it in higher dimensions.

研究动机与目标

• 将扩展的TQFT定义为弱2-函子 $ Z: \mathbf{nCob}_2 \to \mathbf{2Vect} $，推广标准TQFT作为到 $ \mathbf{Vect} $ 的函子。
• 从有限群 $ G $ 显式构造此类2-函子，利用Dijkgraaf-Witten拓扑规范场论。
• 为带角的流形提供一个严谨的双范畴框架，以及2-向量空间的高阶范畴结构。
• 建立扩展TQFT与量子引力之间的联系，特别是在含物质场的3维情形。
• 提出将构造从有限群推广至李群的路径，以恢复3维的欧几里得量子引力。

提出的方法

• 定义一个双范畴 $ \mathbf{nCob}_2 $，即带角流形之间的流形，使用带角和边界的流形。
• 引入 $ \mathbf{2Vect} $ 作为2-向量空间的双范畴，其构造基于联络与规范变换群胚上的预层。
• 使用 $ \mathbf{Vect} $-值预层上的拉回与上推运算，定义 $ \mathbf{2Vect} $ 中的2-线性映射（态射）和2-态射。
• 通过将每个流形分配给其 $ G $-联络空间，将每个流形间映射分配为这些预层的拉回与上推，构造扩展TQFT $ Z_G $。
• 验证所得赋值满足弱2-函子的公理，包括复合与单位的协调性条件。
• 应用Verity双双范畴框架，确保带角流形2-范畴中水平与垂直复合的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拓扑量子场论扩展为从带角流形双范畴到2-向量空间双范畴的弱2-函子？
• RQ2 Dijkgraaf-Witten模型对于有限群 $ G $ 是否可重述为弱2-函子 $ Z_G: \mathbf{nCob}_2 \to \mathbf{2Vect} $，并显式构造其态射与2-态射？
• RQ3 联络与规范变换群胚上的预层在构造2-向量空间与2-线性映射的扩展TQFT中起什么作用？
• RQ4 所提出的构造如何恢复3D量子引力中Ponzano-Regge模型的物质耦合版本？
• RQ5 需要满足什么条件才能将有限群的构造推广至李群，以恢复3维的欧几里得量子引力？

主要发现

• 本文通过在联络与规范变换群胚上的 $ \mathbf{Vect} $-值预层进行拉回与上推，从Dijkgraaf-Witten模型构造出弱2-函子 $ Z_G: \mathbf{nCob}_2 \to \mathbf{2Vect} $。
• 在 $ \mathbf{2Vect} $ 中的态射由流形间映射的拉回与上推诱导的2-线性映射实现，而2-态射则源于规范变换。
• 该构造满足弱2-函子的公理，包括复合与单位的协调性条件，经由Verity双双范畴框架验证。
• 当 $ G $ 为有限群时，该理论在3D量子引力中恢复了Ponzano-Regge模型的物质耦合版本，超越了真空情形。
• 该框架足够一般，可提示向李群推广，可能对合适的 $ G $ 选择恢复3维的欧几里得量子引力。
• 由于在态射范畴中上推的普遍性质，带角流形双双范畴中水平与垂直复合的交换律成立。