[논문 리뷰] Extension and trace theorems for noncompact doubling spaces

Clark Butler|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 21.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 보새프 공간에 대한 확장 및 경계 정리들을 콤팩트에서 완비 비콤팩트 더블링 메트릭 측도 공간으로 일반화하기 위해 보세만 함수를 사용하는 새로운 유일화 절차를 도입함으로써 이를 달성한다. 이는 유일화된 하이퍼볼릭 필링의 구축을 가능하게 하며, 주요 기여는 일반적인 더블링 및 역더블링 조건 하에서 파oincaré 유형 부등식과 보새프 함수에 대한 새로운 리만점 및 준연속성 결과를 도출하는 것이다.

ABSTRACT

We generalize the extension and trace results of Björn-Björn-Shanmugalingam \cite{BBS21} to the setting of complete noncompact doubling metric measure spaces and their uniformized hyperbolic fillings. This is done through a uniformization procedure introduced by the author that uniformizes a Gromov hyperbolic space using a Busemann function instead of the distance functions considered in the work of Bonk-Heinonen-Koskela \cite{BHK}. We deduce several corollaries for the Besov spaces that arise as trace spaces in this fashion, including the existence of representatives that are quasicontinuous with respect to the Besov capacity, the existence of $L^p$-Lebesgue points quasieverywhere with respect to the Besov capacity, embeddings into Hölder spaces for appropriate exponents, and a stronger Lebesgue point result under an additional reverse doubling hypothesis on the measure. We also obtain several Poincaré-type inequalities relating integrals of Besov functions over balls to integrals of upper gradients of extension of these functions to a uniformized hyperbolic filling of the space.

연구 동기 및 목표

• 보새프 공간에 대한 확장 및 경계 결과를 콤팩트에서 완비 비콤팩트 더블링 메트릭 측도 공간으로 일반화한다.
• 거리 함수 대신 보세만 함수를 사용하여 그로모프 하이퍼볼릭 공간에 대한 새로운 유일화 방법을 개발한다.
• 유일화된 하이퍼볼릭 필링에서 경계에 대한 보새프 노름과 확장의 상한 기울기 사이의 파oincaré 유형 부등식을 확립한다.
• 경계 공간에서 임의의 함수에 대해 준연속 대체값과 $L^p$-리만점이 거의 모든 곳에서 존재함을 증명한다.
• 역더블링 가정 하에서 하올더 공간으로의 임베딩과 더 강력한 리만점 결과를 확보한다.

제안 방법

• 비콤팩트 더블링 공간 $Z$의 하이퍼볼릭 필링으로서 완비 지선적 그로모프 하이퍼볼릭 공간 $X$를 구성하며, $Z$ 는 $X$ 의 그로모프 경계 $\partial X$ 에서 한 점 $\omega$ 를 제외한 것으로 식별된다.
• 보세만 기반 유일화를 적용하여 $X$ 를 유일한 메트릭 공간 $X_\rho$ 로 변환하며, 이의 경계 $\partial X_\rho$ 는 $Z$ 와 리프시츠 동치이므로 $Z$ 는 $\partial X_\rho$ 와 등록된 것으로 간주할 수 있다.
• 측도 $\nu$ 를 $X$ 상에서 균일하게 국소적으로 더블링인 측도 $\mu$ 로 올리고, 각 $\beta > 0$ 에 대해 $\mu$ 를 유일화하여 $X_\rho$ 상의 측도 $\mu_\beta$ 를 얻는다. 이에 따라 $(X_\rho, d_\rho, \mu_\beta)$ 와 그 완비화는 모두 더블링이면서 1-파oincaré 부등식을 만족한다.
• 식 (1.1)의 준노름과 식 (1.2)의 노름을 통해 보새프 공간 $\check{B}^\theta_p(Z)$ 를 정의하고, 확장의 상한 기울기를 통해 $X_\rho$ 상의 뉴턴-소볼레프 공간과 연결한다.
• 유일화를 통해 파oincaré 유형 부등식, 예를 들어 (7.15)를 도출하며, 이는 $Z$ 상의 함수의 $L^{Q_*}$-노름과 하이퍼볼릭 필링 상의 상한 기울기의 $L^p$-노름 사이의 관계를 연결한다.
• 반경 추정 (7.7)과 체적 감쇠 추정 (4.17)을 사용하여 구간 평균의 감쇠를 분석함으로써 준연속성과 리만점 성질을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트 더블링 공간에서의 보새프 공간에 대한 확장 및 경계 정리들을 비콤팩트 완비 더블링 메트릭 측도 공간으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 보세만 함수 기반 유일화 절차를 통해 하이퍼볼릭 필링과 경계가 원래 공간과 리프시츠 동치인 유일한 메트릭 공간을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 유일화된 하이퍼볼릭 필링에서 보새프 준노름과 확장의 상한 기울기 노름 사이에 어떤 파oincaré 유형 부등식을 확립할 수 있는가?
• RQ4 보새프 측도에 대해 보새프 함수가 보새프 측도에 대해 준연속 대체값을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ5 측도 $\nu$ 가 역더블링 조건을 만족할 경우 더 강력한 리만점 결과를 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 역더블링 조건 (7.6)과 상대적 하한 체적 감쇠 조건(순서 $Q>0$) 하에서, $C_{\check{B}^\theta_p}^Z$-준모든 점에서 $Z$ 상의 함수의 경계의 $L^{Q_*}(Z)$-리만점임을 증명한다. 여기서 $Q_* = Qp/(Q - p\theta)$ 이다.
• 모든 함수가 $\check{B}^\theta_p(Z)$ 에서 보새프 측도에 대해 준연속 대체값을 갖는다고 증명하며, 이는 콤팩트 경우의 결과를 일반화한 것이다.
• 식 (7.13)의 두 번째 항이 $r \to 0$ 일 때 0으로 수렴함을 이용하여, 보새프 측도에 대해 거의 모든 곳에서 $L^p$-리만점이 존재함을 증명한다.
• 파oincaré 유형 부등식 (7.15)를 도출한다: $\left(\mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-7.83337pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-5.90005pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.75003pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.25003pt}}\!\int_B |f - u_{\hat{B}}|^{Q_*} d\nu\right)^{1/Q_*} \lesssim \mathrm{diam}(B) \left(\mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-7.83337pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-5.90005pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.75003pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.25003pt}}\!\int_{2\hat{B}} g^p d\mu_\beta\right)^{1/p}$, 여기서 암시된 상수는 기하학적 및 측도 이론적 매개변수에 의존한다.
• 역더블링 조건과 상대적 하한 체적 감쇠 조건 하에서 더 강력한 리만점 결과를 확보하여, $C_{\check{B}^\theta_p}^Z$-준모든 점이 $L^{Q_*}$-리만점임을 확인한다.
• 저자들은 식 (1.2)의 노름 하에서 $\check{B}^\theta_p(Z)$ 가 바나흐 공간임을 증명하며, 이 사실에 대한 대체 증명을 유일화 프레임워크를 통해 제시한다.