[논문 리뷰] Extensions of McCoy Rings

Zhiling Ying, Jianlong Chen외 1명|ArXiv.org|2007. 08. 14.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 8인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 다양한 링 확장에서 McCoy 성질의 안정성을 조사하며, $M_n(R)$ 및 상삼각 행렬 링 $T_n(R)$가 $n \geq 2$일지라도 $R$가 McCoy여도 항상 McCoy가 아니라는 것을 증명한다. 또한 다항식 링, 로렌츠 다항식 링, 분수 링에 대해 특정 조건 하에서 McCoy 성질이 유지됨을 밝혀내며, McCoy 조건을 유지하는 확장의 포괄적인 분류를 제공한다.

ABSTRACT

A ring $R$ is said to be right McCoy if the equation $f(x)g(x)=0,$ where $f(x)$ and $g(x)$ are nonzero polynomials of $R[x],$ implies that there exists nonzero $s \in R$ such that $f(x)s = 0$. It is proven that no proper (triangular) matrix ring is one-sided McCoy. If there exists the classical right quotient ring $Q$ of a ring $R$, then $R$ is right McCoy if and only if $Q$ is right McCoy. It is shown that for many polynomial extensions, a ring $R$ is right McCoy if and only if the polynomial extension over $R$ is right McCoy. Other basic extensions of right McCoy rings are also studied.\leftskip0truemm ightskip0truemm \{\it Keywords}: matrix ring, McCoy ring, polynomial ring, upper triangular matrix ring.

연구 동기 및 목표

• Morita 동치 하에서, 특히 행렬 링 구성에서 McCoy 성질이 유지되는지 여부를 결정하는 것.
• 다항식 확장, 즉 $R[x]$, $R[x;x^{-1}]$, $R[x]/(x^n)$ 및 다변수 다항식 링에서 McCoy 성질의 행동을 조사하는 것.
• 링과 그 고전적 우측 분수 링 간의 McCoy 성질 간의 관계를 검토하는 것.
• McCoy 링의 확장이 여전히 McCoy가 되는 데 충분한 조건을 제공하고, 성질이 실패하는 반례를 특정하는 것.

제안 방법

• 행렬 다항식을 사용한 구체적 반례를 통해 $n \geq 2$일 때 $M_n(R)$ 및 $T_n(R)$가 오른쪽 또는 왼쪽 McCoy가 아니라는 것을 증명하는 것.
• 다항식 링 $M_n(R)[x]$ 내에서 $f(x), g(x) \in M_n(R)[x]$의 가족을 구성하여 $f(x)g(x) = 0$이지만 $M_n(R)$ 내에 $f(x)s = 0$을 만족하는 0이 아닌 $s$가 존재하지 않는 경우를 찾는 것.
• 중앙 정규 원소와 곱셈적 부분집합의 개념을 사용하여, 특히 $\Delta = \{1, x, x^2, \dots\}$에 대해 $\Delta^{-1}R$와 같은 국소화로 McCoy 성질을 확장하는 것.
• 귀납법과 단순화 기법을 적용하여, $R$가 오른쪽 McCoy이면 $R[x_1, \dots, x_k]$도 오른쪽 McCoy임을 보이는 것.
• 스칼라 다항식 링 $R[x;\alpha]/(x^n)$ 및 $R[x;\alpha]$를 분석하여, 자기환위가 적용될 때 McCoy 성질이 유지되는지 여부를 판단하는 것.
• 기존의 Armendariz 및 가역 링에 관한 결과를 활용하여 McCoy 성질과 관련된 링 이론적 조건을 비교·분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬 링 확장, 특히 $n \geq 2$일 때 $M_n(R)$ 및 $T_n(R)$에서 McCoy 성질이 유지되는가?
• RQ2 어떤 조건 하에서 링 $R$의 McCoy 성질이 다항식 확장인 $R[x]$, $R[x;x^{-1}]$, $R[x]/(x^n)$으로 이행되는가?
• RQ3 링 $R$의 고전적 우측 분수 링 $Q$가 존재할 때, $R$이 오른쪽 McCoy이면 $Q$도 오른쪽 McCoy인가?
• RQ4 스칼라 다항식 링 $R[x;\alpha]/(x^n)$에서 McCoy 성질이 유지되는가? 그리고 자기환위 $\alpha$는 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $\alpha$가 자기환위일지라도 $R$이 McCoy이지만 $R[x;\alpha]$는 아닐 수 있는 예가 존재하는가?

주요 결과

• 임의의 링 $R$과 $n \geq 2$에 대해, 행렬 링 $M_n(R)$은 왼쪽 또는 오른쪽 McCoy가 아니며, $f(x), g(x) \in M_n(R)[x]$의 구체적 다항식을 구성하여 $f(x)g(x) = 0$이지만 $M_n(R)$ 내에 $f(x)s = 0$을 만족하는 0이 아닌 $s$가 존재하지 않는 것으로 밝혀졌다.
• 유사한 반례를 상삼각 행렬의 구조 내에서 사용하여, $n \geq 2$일 때 상삼각 행렬 링 $T_n(R)$도 왼쪽 또는 오른쪽 McCoy가 아니라는 것이 입증되었다.
• 만약 $R$이 오른쪽 McCoy 링이라면 다항식 링 $R[x]$ 역시 오른쪽 McCoy이며, 이는 다변수 다항식 링 $R[\{x_\alpha\}]$로 유도법을 통해 확장된다.
• 고전적 우측 분수 링 $Q$가 존재할 경우, $Q$가 오른쪽 McCoy이면 $R$도 오른쪽 McCoy이며, 그 반대도 성립한다. 이는 국소화 하에서 강력한 보존 성질을 나타낸다.
• 고정된 자기환위 $\alpha$에 대해, 스칼라 다항식 링 $R[x;\alpha]/(x^n)$은 McCoy이며, $R$이 $\alpha$-고정이면 $R[x;\alpha]$도 McCoy이다.
• 공통의 감소 링 $R$과 자기환위 $\alpha$가 존재하여 $R[x;\alpha]$가 왼쪽 또는 오른쪽 McCoy가 아니라는 반례가 존재함을 보여, McCoy 성질이 항상 스칼라 다항식 링으로 확장되지 않음을 입증하였다.