[논문 리뷰] Exterior Schwarzschild initial data for degenerate apparent horizons

Albert Chau, Adam Martens|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 20.

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한 줄 요약

이 논문은 Mantoulidis-Schoen의 구성 방식을 확장하여, $ \mathbb{S}^2 $ 위의 매끄러운 계량 $ g $ 가 $ \lambda_1(-\Delta_g + K_g) = 0 $ 를 만족할 경우, ADM 질량이 헤이킹 질량 $ \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $ 에 임의로 가까운 점근적으로 평탄한 초기 자료 집합에서의 탈출 가능한 시공간 경계로 나타날 수 있음을 보여준다. 핵심 결과는 이러한 경계의 Bartnik 준국소 질량이 이 헤이킹 질량과 정확히 일치하며, $ \lambda_1 \geq 0 $ 는 시간 대칭적이고 주류 에너지 조건을 만족하는 설정에서 계량이 탈출 가능한 시공간 경계로 나타나기 위한 필수적이고도 충분한 조건임을 밝혀낸다.

ABSTRACT

In this note we show that if $g$ is a smooth Riemannian metric on $\mathbb{S}^2$ such that the first eigenvalue of the operator $L_g:=-Δ_g +K_g$ satisfies $λ_1(L_g)=0$ then $(\mathbb{S}^2, g)$ arises as an apparent horizon in an asymptotically flat initial data set with ADM mass arbitrarily close to the associated Hawking mass $\sqrt{ ext{area}(\mathbb{S}^2, g)/16π}$. In particular, this determines the Bartnik quasilocal mass (introduced by Bartnik \cite{Bartnik} in 1989) associated with $(\mathbb{S}^2, g)$ in this setting. We prove these by modifying the construction of Mantoulidis-Schoen \cite{MS} who proved the same results in the case $λ_1(L_g)>0$. It follows that $λ_1(g)\geq 0$ is necessary and sufficient for $(\mathbb{S}^2, g)$ to arise from an apparent horizon in an asyptotically flat space-time under the dominant energy condition and in the time symmetric setting, and that the Bartnik mass of the horizon is $\sqrt{ ext{area}(\mathbb{S}^2, g)/16π}$.

연구 동기 및 목표

• 시간 대칭적이고 점근적으로 평탄한 초기 자료 집합에서 주류 에너지 조건을 만족할 때, $ \mathbb{S}^2 $ 위의 매끄러운 계량 $ g $ 가 탈출 가능한 시공간 경계로 나타나기 위한 내재 조건을 특징짓는 것.
• 비퇴화 케이스($ \lambda_1 > 0 $)에서의 Mantoulidis-Schoen 구성 방식을 퇴화 케이스($ \lambda_1 = 0 $)로 확장하는 것.
• 계량 $ \lambda_1 = 0 $ 를 가진 탈출 가능한 시공간 경계의 Bartnik 준국소 질량을 결정하는 것.
• $ \overline{\mathscr{M}_+} = AH $ 를 증명하는 것. 여기서 $ \overline{\mathscr{M}_+} $ 는 $ \lambda_1 \geq 0 $ 인 계량들의 집합이며, $ AH $ 는 탈출 가능한 시공간 경계로 나타나는 계량들의 집합임.

제안 방법

• 계량 $ g $ 를 연장하는 $ \mathbb{S}^2 \times [0,1] $ 위의 와핑 곡률 콜라주를 구성하며, 와핑 인자 값을 조절하여 $ \lambda_1 = 0 $ 조건을 유지한다.
• 연속적인 변형 $ g_t = e^{2tA w} g_* $ 를 사용하여 둥근 계량 $ g_* $ 와 $ \lambda_1 < 0 $ 인 계량 사이를 연결하며, $ A \geq 1/c $ 를 조건으로 삼는다. 이로써 중간 지점 $ t_0 $ 에서 $ \lambda_1 = 0 $ 이 되도록 보장한다.
• 연속 함수 $ t \mapsto \lambda_1(g_t) $ 에 중간값 정리를 적용하여, 동치 클래스 내에서 $ \lambda_1 = 0 $ 인 계량이 존재함을 증명한다.
• Mantoulidis-Schoen 구성 방식을 활용해 콜라주를 외부 슈바르츠실트 영역과 연결함으로써, 비음성의 스칼라 곡률과 점근적 평탄성을 확보한다.
• 최종 계량 $ G $ 에서 경계 $ \mathbb{S}^2 \times \{0\} $ 가 가장 바깥쪽이며, 최소 면적이고, 엄밀히 평균 곡률가 존재함을 검증한다.
• 리만-펜로즈 부등식을 적용하여, ADM 질량이 헤이킹 질량 $ \sqrt{\text{area}/16\pi} $ 에 임의로 가까워질 수 있음을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ \lambda_1(-\Delta_g + K_g) \geq 0 $ 는 $ \mathbb{S}^2 $ 위의 매끄러운 계량 $ g $ 가 비음성의 스칼라 곡률을 가진 시간 대칭적이고 점근적으로 평탄한 초기 자료 집합에서 탈출 가능한 시공간 경계로 나타나기 위한 필수적이고도 충분한 조건인가?
• RQ2 계량 $ \lambda_1 = 0 $ 인 경계의 Bartnik 준국소 질량이 정확히 $ \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $ 인가?
• RQ3 Mantoulidis-Schoen 구성 방식은 퇴화 케이스 $ \lambda_1 = 0 $ 로도 확장 가능하며, 이로써 ADM 질량을 헤이킹 질량에 임의로 가까이 만들 수 있는가?
• RQ4 계량 $ g $ 가 $ \lambda_1 = 0 $ 인 경우, 비음성의 스칼라 곡률과 최소 경계를 가진 완전하고 점근적으로 평탄한 3차원 다양체로 확장 가능한가?

주요 결과

• $ \overline{\mathscr{M}_+} \subset AH $ 이 성립하며, 이는 $ \mathbb{S}^2 $ 위의 매끄러운 계량 $ g $ 가 $ \lambda_1(-\Delta_g + K_g) \geq 0 $ 를 만족할 경우, 점근적으로 평탄한 초기 자료 집합에서 탈출 가능한 시공간 경계로 나타남을 의미한다.
• 모든 이러한 경계 $ (\mathbb{S}^2, g) $ 의 Bartnik 준국소 질량은 정확히 $ \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $ 이다.
• 모든 $ m > \sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2,g)/16\pi} $ 에 대해, $ \mathbb{S}^2 \times [0,\infty) $ 위에 존재하는 매끄럽고 점근적으로 평탄한 계량 $ G $ 가 존재하며, 이는 ADM 질량 $ m $, 비음성의 스칼라 곡률, 그리고 $ \partial M = \mathbb{S}^2 \times \{0\} $ 이 가장 바깥쪽 최소 표면임을 만족한다.
• 경계 $ \partial M $ 는 제2 기본 형식이 0이며, $ t > 0 $ 인 경우, 매끄럽게 따라지는 구 $ \mathbb{S}^2 \times \{t\} $ 는 엄밀히 평균 곡률가 존재한다.
• 최종 계량 $ G $ 는 큰 $ t $ 에서 표준적인 질량-$ m $ 슈바르츠실트 계량과 일치하므로, 점근적 평탄성이 보장된다.
• 구성은 둥근 계량에서 $ \lambda_1 = 0 $ 인 계량으로 가는 연속적인 등각 변형 경로에 의존하며, 연속성과 중간값 정리를 활용하여 원하는 스펙트럼 조건을 달성한다.