[论文解读] Extinction rate of continuous state branching processes in critical L\\'evy environments

Vincent Bansaye, Juan Carlos Pardo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文在非稳定分支机制下，基于斯皮策条件与指数矩假设，建立了连续状态分支过程（CSBPs）在临界Lévy环境中灭绝率的精确结果，拓展了以往仅限于稳定机制的研究。通过结合Lévy过程的波动理论与指数函数渐近分析，证明了生存概率与环境过程运行下确界紧密相关，从而在临界振荡情形下获得了灭绝时间的精确尾部估计。

ABSTRACT

We study the speed of extinction of continuous state branching processes in a L\\'evy environment, where the associated L\\'evy process oscillates. Assuming that the L\\'evy process satisfies the Spitzer's condition and the existence of some exponential moments, we extend recent results where the associated branching mechanism was stable. Our study relies on the path analysis of the process together with its environment, when this latter is conditioned to have a non negative running infimum. This approach is inspired from the discrete setting with i.i.d. environment studied in (Afanasyev et al. 2005).

研究动机与目标

• 将CSBPs在Lévy环境中的灭绝率结果从稳定分支机制情形推广至更一般的情形。
• 分析当Lévy环境振荡且满足斯皮策条件时，CSBPs的长期行为。
• 在临界性情形下，当环境波动非退化时，建立灭绝速度的精确刻画。
• 基于Lévy环境的运行下确界，对CSBP路径进行分解，以分析其生存可能性。
• 利用Lévy过程指数函数的渐近性质，推导灭绝时间尾部行为的精确表达式。

提出的方法

• 利用波动理论中的路径条件化技术，使Lévy过程几乎必然保持非负。
• 将Afanasyev等人（2010）在离散i.i.d.设定下的方法，推广至连续的CSBP-环境框架。
• 根据环境过程的运行最小值，将CSBP路径分解为下确界前与下确界后两个阶段。
• 使用具有有界变差与指数矩的Lévy过程驱动的CSBP的SDE表示。
• 应用Patie与Savov关于Lévy过程指数函数结果，从路径行为角度刻画生存概率。
• 运用伊tô公式与鞅技巧，证明在退火测度下CSBP的保守性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当分支机制不一定是稳定机制时，CSBP在临界Lévy环境中的灭绝率是什么？
• RQ2 CSBP的生存概率如何依赖于Lévy环境的路径，特别是其运行下确界附近的行为？
• RQ3 当Lévy环境满足斯皮策条件且具有指数矩时，灭绝时间的尾部行为能否被精确刻画？
• RQ4 环境的运行下确界在决定CSBP生存可能性中起什么作用？
• RQ5 如何结合波动理论与指数函数渐近分析，以研究CSBPs在随机环境中的长期行为？

主要发现

• CSBP的灭绝率由Lévy环境指数函数的渐近行为决定，推广了稳定情形下的已有结果。
• CSBP的生存与Lévy环境达到其运行下确界时刻前的生存过程密切相关。
• 将路径分解为下确界前与下确界后两阶段，使得通过条件分析可对生存概率实现精确控制。
• 在斯皮策条件与指数矩假设下，生存概率随时间呈多项式衰减，衰减速率由Lévy过程的特征决定。
• 在退火测度下，CSBP是保守的，即几乎必然不会在有限时间内爆炸，该结论通过鞅方法与Gronwall型不等式得到证明。
• 本结果通过去除对自相似性的要求，将先前针对稳定机制的研究推广至更广泛的分支机制类别。