[논문 리뷰] Extra extension properties of equidimensional holomorphic mappings: results and open questions

S. Ivashkovich|ArXiv.org|2008. 10. 25.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체 사이의 등차원 헬름홀로픽 사상에 대한 강력한 확장 성질을 수립하며, 특히 국소적으로 편평한 복소다양체에서 유리형 사상이 컴act, 국소적으로 동질적인 카플러 다양체로 갈 때, 그 해석적 확장을 해석적 볼록성의 영역으로 확장함을 증명한다. 주요 기여는 칼슨-하르비 콘제프처를 일반화한 것으로, 만약 어떤 도메인이 적절히 이산적인 군 작용을 통해 컴팩트 카플러 다양체를 덮고 있다면, 그 도메인이 유리 곡선을 포함하지 않는 한 도메인이 스스로 스타인 다양체여야 한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Holomorphic (nondegenerate) mappings between complex manifolds of the same dimension are of special interest. For example, they appear as coverings of complex manifolds. At the same time they have very strong "extra" extension properties in compare with mappings in different dimensions. The aim of this paper is to put together the known results on this subject, give some perspective on the general strategy for future progress, prove some new results and formulate open questions.

연구 동기 및 목표

• 복소다양체 사이의 등차원 해석적 사상에 대한 확장 성질에 관한 기존 결과들을 통합하고 확장하기.
• 국소적으로 편평한 도메인에서 컴팩트, 국소적으로 동질적인 카플러 다양체로의 유리형 사상이 해석적 볼록성의 영역으로 어떻게 해석적으로 확장되는지 조건을 설정하기.
• 미래의 복소기하학 연구를 이끄는 열린 질문들을 제시하기, 특히 확장, 체적 성장, 복소기하학적 구조의 변형에 관하여.
• 칼슨-하르비 추측을 일반화하여, 적절히 이산적인 군 작용을 통해 컴팩트 카플러 다양체를 덮는 도메인이 유리 곡선을 포함하지 않는 한 스스로 스타인 다양체여야 한다는 것을 증명하기.

제안 방법

• 해석적 볼록성의 개념을 사용하여 스타인 다양체에 있는 도메인에서 그 해석적 볼록성으로의 해석적 사상의 확장을 다룬다.
• 확장 정리에서 컴팩트성의 약한 대체로 디스크-볼록성의 개념을 적용한다.
• 여기서는 여전히 차원이 2 이상인 불확정성 집합을 가진 해석적 그래프로 정의된 유리형 사상들을 사용한다.
• 콤팩트 카플러 섬유를 가진 해석적 피브레이션 이론과 스타인 보완부에서의 유리형 섹션의 확장을 이용한다.
• 형식 $(dd^c\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\norm{z}^2 + f^*\omega)^k$ 의 통합을 통한 그래프의 체적 추정을 이용하여 성장과 컴팩트성을 통제한다.
• 비카플러 복소기하학의 결과를 적용하여 적절한 조건 하에 비카플러 총공간으로의 유리형 사상의 확장을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 편평한 도메인에서 컴팩트, 국소적으로 동질적인 카플러 다양체로의 유리형 사상이 해석적 볼록성의 영역으로 확장되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 불확정성 집합의 보완부가 스타인일 경우, 콤팩트 카플러 섬유를 가진 해석적 피브레이션의 유리형 섹션은 전체 기저에서 전역적으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 복소다양체에서 다양한 디스크-볼록성의 개념 간의 관계는 무엇이며, 이들은 서로 동치인가?
• RQ4 C^2 위의 비스카이틀 도메인에서 컴팩트 복소다양체로의 해석적 사상이 점들을 분리할 수 있는가? 만약 그렇다면, 이는 타깃 다양체에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ5 특수한 다이스크에서의 유리형 사상의 그래프에 대해 체적 성장 한계는 무엇이며, 특히 등차원의 경우에 적용되는가?

주요 결과

• 국소적으로 편평한 도메인에서 컴팩트, 국소적으로 동질적인 카플러 다양체로의 유리형 사상은 불확정성 집합 외부에서 국소적으로 동형일 경우 해석적 볼록성의 영역으로 해석적으로 확장된다.
• 스타인 다양체에 있는 도메인 $D$ 가 고정점이 없는 적절히 이산적인 군 작용을 통해 컴팩트 카플러 다양체 $X$ 를 덮고 있다면, $D$ 가 스타인일 조건은 $X$ 가 유리 곡선을 포함하지 않을 때이다.
• 스타인 다양체에 있는 도메인 $D$ 의 해석적 볼록성은, $X$ 가 컴팩트 카플러이고 유리 곡선을 포함하지 않는 한, 임의의 해석적 사상 $f:D\to X$ 가 $\hat{f}:\hat{D}\to X$ 로 확장된다는 것을 의미한다.
• 콤팩트 복소공간 $X$ 에로의 유리형 사상 $f:\Delta^k\to X$ 에 대해, 이미지의 체적이 유계이면 그래프의 체지도 유계지, 단지 미분 노름이 아래에서 유계이고 이미지 체적이 일관되게 유계일 경우에 한하여 성립한다.
• 등차원의 경우 $f:\Delta^n_*\to X^n$ 에서, 원환체 영역 $A^n(r,1)$ 에서의 이미지 체적은 $n\geq 2$ 일 때 최대 $O(\log^{n/(n-1)}(1/r))$ 의 속도로 증가하며, $n=1$ 일 경우는 이와 같은 유계가 없다.
• 그래프의 체적과 $k$-디스크에 제한된 제약 조건이 일관되게 유계인 유리형 사상의 가중치는 일관된 전역 체적 유계를 가진다. 이는 일종의 균일 연속성과 컴팩트성의 성질을 보여준다.