[논문 리뷰] Extremely chaotic Boolean networks

Winfried Just, Germán Enciso|ArXiv.org|2008. 11. 01.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 입력이 유계이며, 편향되고 캐널라이징 규칙 함수를 갖으며, 부정 피드백 루프가 적은 강력한 제약 조건 하에서도 부울 네트워크가 여전히 지수적으로 긴 주기 궤도를 가지는 극도로 혼돈스러운 행동을 보일 수 있음을 보여준다. 핵심 결과는 이러한 네트워크가 다른 변수들로부터 시간 지연을 거쳐 복사된 형태로 작용하는 변수를 다수 포함해야 하며, 이는 소규모 튜링 기계와 유사한 구조를 띤다는 것이다.

ABSTRACT

It is an increasingly important problem to study conditions on the structure of a network that guarantee a given behavior for its underlying dynamical system. In this paper we report that a Boolean network may fall within the chaotic regime, even under the simultaneous assumption of several conditions which in randomized studies have been separately shown to correlate with ordered behavior. These properties include using at most two inputs for every variable, using biased and canalyzing regulatory functions, and restricting the number of negative feedback loops. We also prove for n-dimensional Boolean networks that if in addition the number of outputs for each variable is bounded and there exist periodic orbits of length c^n for c sufficiently close to 2, any network with these properties must have a large proportion of variables that simply copy previous values of other variables. Such systems share a structural similarity to a relatively small Turing machine acting on one or several tapes.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 부울 네트워크에서 순서 있는 다이내믹스를 유도하는 데 알려진 성질들의 조합이 여전히 극도로 혼란스러운 행동을 허용할 수 있는지 조사하기 위해.
• 구조적 제약 조건이 존재하는 상황에서 $ c $-혼돈스러운 행동(지수적으로 긴 궤도)이 지속될 수 있는 조건을 엄밀하게 규명하기 위해.
• 규제 함수가 편향되고 캐널라이징이며, 부정 피드백 루프가 적은 조건에서 $ c $-혼돈스러움의 구조적 함의를 분석하기 위해.
• 이러한 제약 조건 하에서 $ c $-혼돈스러운 네트워크가 다른 변수들로부터 값의 복사 또는 역전환을 지연시켜 수행하는 변수를 다수 포함해야 한다는 것을 확립하기 위해.
• 이러한 혼돈스러운 네트워크와 핵심 변수 수가 적고 테이프가 있는 부울 지연 시스템 간의 등가성을 수립하기 위해.

제안 방법

• 지수적으로 긴 궤도를 가지며 $ c $가 2에 가까운 경우에 $ c^n $ 이상의 주기 궤도를 갖는 부울 네트워크를 $ c $-혼돈스러운 것으로 정의한다.
• 읽기 전용 테이프 개념을 사용하여, 시간 지연을 거쳐 다른 변수의 값을 직접 또는 역전환하여 복사하는 메모리 변수 개념을 도입한다.
• 지연된 입력을 통해 동작하는 부울 지연 시스템 $ (Σ, f) $를 구성한다. 여기서 $ f_i(t) = g_i(\text{지연된 입력}) $이며, 지연 $ \ell(k) $ 는 테이프 길이를 나타낸다.
• 만약 $ c $가 2에 매우 가까운 $ c $-혼돈스러운 $ \varepsilon $-편향된 $ (b,r) $-부울 시스템이면, 최대 $ \alpha n $개의 변수를 갖는 지연 시스템과 등가여야 한다는 것을 증명한다.
• 테이프 길이의 최소공배수에 대한 수론적 한계를 사용하여, 읽기 전용 테이프가 총 크기가 선형이 아닌 이상 지속적으로 긴 궤도를 지원할 수 없다는 것을 보인다.
• 분할된 정수들의 최대 LCM에 대한 渐近적 추정을 적용하여, 읽기 전용 부분의 서로 다른 상태 수를 제한하고, 너무 많은 변수가 이러한 테이프에 속해 있으면 모순이 발생함을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 규제 함수가 최대 두 개의 입력만 허용하는 경우, 부울 네트워크가 $ c $가 2에 임의로 가까운 경우에도 여전히 $ c $-혼돈스러운가?
• RQ2 편향, 캐널라이징 함수, 그리고 부정 피드백 루프가 적은 조합이 지수적으로 긴 궤도의 존재를 방지하는가?
• RQ3 이러한 제약 조건 하에서 $ c $-혼돈스러운 네트워크에 반드시 존재해야 할 구조적 특징은 무엇인가?
• RQ4 시간 지연을 거쳐 다른 변수의 값을 복사하거나 역전환하는 변수의 존재가 전체 시스템의 다이내믹스에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이러한 네트워크가 핵심 활성 변수 수가 적은 등가 부울 지연 시스템으로 얼마나 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 입력이 유계이며, 편향되고 캐널라이징 규칙 함수를 갖으며, 부정 피드백 루프가 적은 강력한 제약 조건 하에서도, 부울 네트워크는 여전히 $ c $가 2에 임의로 가까운 $ c $-혼돈스러운 다이내믹스를 나타낼 수 있다.
• 만약 $ c $가 2에 매우 가까운 $ c $-혼돈스러운 $ n $차원 $ \varepsilon $-편향된 $ (b,r) $-부울 시스템이면, 임의의 주어진 $ \alpha > 0 $에 대해 최대 $ \alpha n $개의 변수를 갖는 부울 지연 시스템과 등가여야 한다.
• 직접 또는 역전환된 복사본으로 작용하는 변수의 수는 최소 $ (1 - \alpha)n $ 이상이어야 하며, 이는 네트워크의 다수 부분이 테이프 기반 메모리 시스템으로 작용함을 의미한다.
• 읽기 전용 테이프—고정된 지연을 거쳐 다른 변수의 값을 복사하거나 역전환하는 변수—는 최대 $ 2 \cdot \text{lcm}(\{m_1,\dots,m_v\}) $개의 서로 다른 상태를 지원할 수 있으며, 여기서 $ \sum m_i = |R(g)| $ 이다. 이는 그 기여도가 궤도 길이에 제한됨을 의미한다.
• 읽기 전용 변수의 수가 임의의 고정된 $ \delta > 0 $에 대해 $ \delta n $를 초과하면, 최대 궤도 길이는 $ 2^{(1-\delta)n} \cdot e^{\sqrt{n \ln n}(1+o(1))} $ 이하가 되며, 이는 $ c > 2^{1-\delta} $ 이고 충분히 큰 $ n $ 에서는 $ c^n $ 이하가 된다.
• 따라서 $ c $가 2에 매우 가까운 $ c $-혼돈스러움은 이러한 메모리 변수의 수가 많고, 읽기 전용 부분의 크기가 선형이 아닌 경우에만 가능하며, 이는 시스템이 테이프를 갖는 소규모 튜링 기계를 모방해야 한다는 것을 강제한다.