[논문 리뷰] Factor-balancedness, linear recurrence, and factor complexity

Bastíán Espinoza, Pierre Popoli외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 03.

semigroups and automata theory인용 수 0

한 줄 요약

논문은 선형 재귀적(linearly recurrent) 및 S-adic 단어에서 (균일) 요소-균형성에 대한 일반적인 기준을 개발하고, 이를 Sturmian 및 Arnoux–Rauzy 단어에 적용하며, Toeplitz 기반의 지수적 증가를 포함한 요소 복잡성과의 연결을 조사한다.

ABSTRACT

In the study of infinite words, various notions of balancedness provide quantitative measures for how regularly letters or factors occur, and they find applications in several areas of mathematics and theoretical computer science. In this paper, we study factor-balancedness and uniform factor-balancedness, making two main contributions. First, we establish general sufficient conditions for an infinite word to be (uniformly) factor-balanced, applicable in particular to any given linearly recurrent word. These conditions are formulated in terms of $\mathcal{S}$-adic representations and generalize results of Adamczewski on primitive substitutive words, which show that balancedness of length-2 factors already implies uniform factor-balancedness. As an application of our criteria, we characterize the Sturmian words and ternary Arnoux--Rauzy words that are uniformly factor-balanced as precisely those with bounded weak partial quotients. Our second main contribution is a study of the relationship between factor-balancedness and factor complexity. In particular, we analyze the non-primitive substitutive case and construct an example of a factor-balanced word with exponential factor complexity, thereby making progress on a question raised in 2025 by Arnoux, Berthé, Minervino, Steiner, and Thuswaldner on the relation between balancedness and discrete spectrum.

연구 동기 및 목표

• 무한 단어에서 요소의 규칙성을 정량적으로 측정하기 위한 factor-balancedness와 uniform factor-balancedness 연구를 제시한다.
• S-adic 표현을 통해 선형 재귀적 단어에 적용 가능한 (일반적인) 충분 조건으로서 (균일) factor-balancedness를 개발한다.
• Bounded weak partial quotients를 통해 Sturmian 및 ternary Arnoux–Rauzy 단어에서 uniform factor-balancedness를 특징짓는다.
• factor-balancedness와 factor complexity 간의 관계를 분석하며, 비원시 substitution적 경우 및 복잡도 증가를 포함한다.

제안 방법

• 친근한 수열과 조건(P), (F), (D)을 도입하여 유도된 단어가 B_n-letter-balanced일 때 factor-balancedness를 주는 정리 1.2를 얻는다.
• S-adic 표현과 결정성을 이용해 desubstitution 후에 letter-balancedness로 factor-balancedness 질문을 축소한다.
• 원시 substitution적 단어에 대해 기존의 결과를 활용하여 uniform factor-balancedness와 길이-2 factor의 균형성 간의 동등성을 얻는다.
• Sturmian 및 Arnoux–Rauzy 단어에 이 프레임워크를 적용하여 정확한 특성화를 얻는다(예: bounded weak partial quotients를 가지는 uniformly factor-balanced AR 단어 등).
• factor-balancedness와 factor complexity 간의 연결을 시연하여 substitution factor-balanced 단어의 선형 복잡성을 입증하고, Toeplitz 기반의 예시로 지수적 복잡성을 갖는 factor-balanced 단어를 구성한다.
• 정리 1.2, 정리 1.3, 정리 1.4와 같은 명시적 결과를 제시하고 그 함의를 논의한다.

Figure 3. A DFAO generating ${\bf{x}}$ in the Zeckendorf numeration system.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 재귀적 단어가 (uniformly) factor-balanced가 되기 위한 충분조건을 넘어서 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ2 어떤 Arnoux–Rauzy 단어들이 차수 d≥2의 알파벳에서 uniformly factor-balanced인가?
• RQ3 균일하게 factor-balanced한 단어에서 지수 증가하는 factor 복잡도는 발생할 수 있는가? 어떤 구성 하에서 가능한가?
• RQ4 초과선형(factor) 복잡도를 갖는 uniformly factor-balanced 단어를 얻는 것이 가능한가?
• RQ5 factor-balancedness 특성이 primitive substitution 구조 및 desubstitution 과정과 어떻게 상호 작용하는가?

주요 결과

• 정리 1.2는 congenial sequences와 B_n-letter-balanced로 파생된 단어를 이용해 선형 재귀적 단어가 (uniformly) factor-balanced가 되기 위한 일반적인 충분조건을 제공한다.
• 원시 substitution적 단어의 경우 이 프레임워크는 uniform factor-balancedness와 길이-2 factors의 균형성 사이의 동등성을 도출한다.
• 정리 1.3은 alphabets가 최대 3 문자인 AR 단어들 중 uniformly factor-balanced한 것들을 bounded weak partial quotients를 정확히 갖는 것으로 특징짓는다.
• 섹션 7은 substitution적 factor-balanced 단어가 선형 factor complexity를 갖는 반면, 정리 1.4는 지수적 factor complexity를 갖는 factor-balanced 단어를 구성함으로써 모든 factor-balanced 시스템이 이산 스펙트럼을 갖는 것은 아님을 시사한다.
• Tribonacci 단어는 관련 연구에서 상수 2를 갖는 uniformly factor-balanced의 예시로 다루어져 uniform factor-balancedness의 범위를 보여준다.