[论文解读] Factorization homology and calculus à la Kontsevich Soibelman

Geoffroy Horel|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文在链复形或交换环谱上的链复形或模的范畴中，构建了Kontsevich-Soibelman的彩色操作律 $σ\mathcal{KS}$ 对拓扑Hochschild上同调与同调对的作用。通过在带边界的流形上使用分解同调及瑞士奶酪操作律，将经典的非交换微分几何结构提升至链水平，借助 $σ\mathcal{KS}$-代数将Deligne猜想推广至高维情形。

ABSTRACT

Using factorization homology techniques, we give a simple proof of the action of Kontsevich and Soibelman operad on the pair consisting of Hochschild cohomology and Hochschild homology. The proof obviously extends to higher Hochschild cohomology and factorization (also called chiral) homology. Note that our result works in categories of chain complexes but also in categories of modules over a commutative ring spectrum.

研究动机与目标

• 将Hochschild (上)同调上的经典非交换微分几何结构提升至链水平的结构化作用。
• 通过在带边界的流形上使用分解同调，将Kontsevich-Soibelman操作律的高维类比推广至更高维度，推广Deligne猜想。
• 建立拓扑Hochschild上同调与同调构成Kontsevich-Soibelman高维操作律 $σ\mathcal{KS}$-代数的结构。
• 将框架扩展至 $σ\mathcal{E}_d$-代数，以分解同调替代Hochschild同调，以导出自同态替代上同调。
• 证明该结构在链复形与环谱上兼容，包括非有理分次的情形。

提出的方法

• 使用带边界的框架流形上的分解同调，通过嵌入到具有乘积框架的流形来定义。
• 应用瑞士奶酪操作律，以Kontsevich与Soibelman定义的方式，对圆柱体边界上参数化的圆盘操作进行建模。
• 利用交换环谱上操作律与模的同伦理论，构造从带边界的框架流形范畴到目标范畴的对称张量函子。
• 利用Yoneda引理及嵌入空间之间的同伦等价，将圆柱体的分解同调识别为代数的Hochschild同调。
• 构造从操作律 $M_{\tau}^{\circlearrowright}\mathcal{M}od$ 到对 $(D, M \times [0,1))$ 的自同态操作律的映射，从而诱导出所需的代数结构。
• 通过Hinich与Fresse建立的 $C_*(\mathcal{O})$-代数上的奇异链与转移模型结构，将构造适配至无界链复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hochschild (上)同调上的经典非交换微分几何结构能否被提升至链水平的协调作用？
• RQ2 Kontsevich-Soibelman操作律 $\mathcal{KS}$ 的高维类比是否作用于分解同调与高阶Hochschild上同调？
• RQ3 Deligne猜想是否可自然推广至带边界的流形与小 $d$-圆盘操作律的高维代数？
• RQ4 该构造能否扩展至交换环谱上的链复形范畴，包括非有理分次的情形？
• RQ5 精确的何种操作律结构控制着高维情形下拓扑Hochschild上同调与同调之间的相互作用？

主要发现

• 在交换环谱上，一个结合代数 $A$ 的拓扑Hochschild上同调与同调对 $(\mathrm{HH}^*(A), \mathrm{HH}_*(A))$ 弱同伦等价于Kontsevich-Soibelman操作律 $\mathcal{KS}$-代数。
• 操作律 $\mathcal{KS}$ 在该对上的作用将经典的Gerstenhaber微分几何结构提升至链水平，包括Schouten-Nijenhuis括号、cap积与李导数。
• 该构造可推广至 $\mathcal{E}_d$-代数，其中Hochschild上同调由导出自同态替代，Hochschild同调由 $(d-1)$-流形上的分解同调替代。
• 对于一个框架的 $(d-1)$-流形 $M$，对 $(\mathrm{HH}_{\mathcal{E}_{d-1}}(A), \int_M A)$ 弱同伦等价于高阶操作律 $M_{\tau}^{\circlearrowright}\mathcal{M}od$-代数，该操作律控制着微分几何结构。
• 在无界链复形的情形下，结果通过 $C_*(\mathcal{O})$-代数成立，其中分解同调被定义为在 $C_*(\mathbf{E}_d)$ 上的导出张量积，从而将框架扩展至非有理分次的情形。