[논문 리뷰] Families of hyperelliptic curves

Sergey Gorchinskiy, Filippo Viviani|ArXiv.org|2005. 11. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특성 ≠ 2인 대수적으로 닫힌 체 위에서 종수 $g \geq 2$인 초타원곡선의 모듈리 공간 $H_g$의 피카르 군과 위수군 군을 결정한다. 이로써 $\operatorname{Pic}(H_g)$는 자명함을 증명하고, $g \geq 3$일 경우 $\operatorname{Cl}(H_g)$는 순서 $4g+2$인 순환군이며, $g=2$일 경우 순서 5의 순환군임을 보인다. 또한 모듈리 스택 $\mathcal{H}_g$의 피카르 군의 생성자를 함의론적으로 기술하여, 허드지 배란이 이를 생성함을 보일 조건은 $4 \nmid g$임을 밝히며, $H_g$는 타우토로지컬 가족을 갖지 않음을 증명함으로써 그것이 섬세한 모듈리 공간이 아님을 시사한다.

ABSTRACT

The main subject is the difference between the coarse moduli space and the stack of hyperelliptic curves. In particular, we compute their Picard groups, giving explicit description of the generators. We also study how many families of hyperelliptic curves may have the same modular map as well as the existence of the tautological family over the coarse moduli space of hyperelliptic curves.

연구 동기 및 목표

• 종수 $g \geq 2$인 초타원곡선의 계수 모듈리 공간 $H_g$의 피카르 군과 위수군 군을 계산하는 것.
• 모듈리 공간 $H_g$가 타우토로지컬 가족을 갖는지 여부를 조사함으로써, 그것이 섬세한 모듈리 공간인지 여부를 판단하는 것.
• 기존 결과를 $g=2$에 대해 확장하여, 모듈리 스택 $\mathcal{H}_g$의 피카르 군 생성자의 함의론적 기술을 제공하는 것.
• 코homological 및 기하학적 방법을 사용하여 $H_g$ 위에 초월적 가족의 존재에 대한 장벽을 분석하는 것.

제안 방법

• 모듈리 공간 $H_g$는 $({\rm Sym}^{2g+2}(\mathbb{P}^1) - \Delta)/PGL_2$의 몫으로 표현되어, 불변 이론과 몫 기하학의 응용이 가능해진다.
• 등변 기하학과 대칭곱의 구조를 이용하여 위수군 군 $\operatorname{Cl}(H_g)$를 계산하여, $g \geq 3$일 경우 순서 $4g+2$인 순환군임을 보였다.
• 모듈리 공간 $H_g$의 매끄러운 부분이 조밀하고, 몫 구성이 선다발의 자명성을 유지한다는 사실을 이용하여 피카르 군 $\operatorname{Pic}(H_g)$가 자명함을 증명하였다.
• 모듈리 스택 $\mathcal{H}_g$는 $[\mathbb{A}_{\text{sm}}(2,2g+2)/(GL_2/\mu_{g+1})]$의 몫 스택으로 식별되어, 등변 선다발을 통한 피카르 군 계산이 가능해졌다.
• 상대적 캐논리카 및 위에르슈트르 다발의 투영을 분석하고, 이를 허드지 배란으로 표현함으로써 $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$의 함의론적 생성자를 구성하였다.
• 모듈리 공간 $H_g^0$ 위에 타우토로지컬 가족이 존재하지 않음을 증명하기 위해, $(\operatorname{Sym}^{2g+2}(\mathbb{P}^1) - \Delta)^0 \times \mathbb{P}^1$의 피카르 군에서 초월적 다발의 계수가 2로 나누어지지 않음을 보였다. 이는 초월성의 필요 조건을 위반함으로써, 초월적 가족이 존재하지 않음을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 $g \geq 2$인 초타원곡선 모듈리 공간의 위수군 군 $\operatorname{Cl}(H_g)$의 구조는 무엇인가?
• RQ2 피카르 군 $\operatorname{Pic}(H_g)$는 자명한가? 이는 $H_g$의 특이점과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 계수 모듈리 공간 $H_g$는 초타원곡선의 타우토로지컬 가족을 갖는가?
• RQ4 기하학적 불변량으로서, 모듈리 스택 $\mathcal{H}_g$의 피카르 군 생성자를 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ5 허드지 배란의 첫 번째 체르니클 클래스가 $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$를 생성하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 위수군 군 $\operatorname{Cl}(H_g)$는 $g \geq 3$일 경우 순서 $4g+2$인 순환군이며, $g = 2$일 경우 순서 5의 순환군이다. 이는 $H_g$가 정규이긴 하지만 특이점이 있음을 시사한다.
• 피카르 군 $\operatorname{Pic}(H_g)$는 자명하다. 이는 $\operatorname{Cl}(H_g)$가 비자명하므로, $H_g$가 섬세한 모듈리 공간이 아님을 의미한다.
• $H_g^0 \subset H_g$ 위에 초타원곡선의 타우토로지컬 가족이 존재하지 않으며, 이는 초월적 다발의 계수가 피카르 군에서 2로 나누어지지 않기 때문이다.
• $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$의 생성자는 상대 캐논리카 및 위에르슈트르 다발의 투영의 선형 조합으로 명시적으로 구성되었다.
• 허드지 배란의 첫 번째 체르니클 클래스가 $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$를 생성하는 것은 $4$가 $g$를 나누지 않을 때에만 성립한다. 그렇지 않으면, 그 클래스는 인덱스 2의 부분군을 생성한다.
• 기저 $S$에서 $H_g^0$으로 향하는 모듈러 사상의 차수는, 가족이 유리 섹션을 갖고 자동환군이 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$일 경우 반드시 짝수여야 한다. 이는 $H_g^0$의 함수체 위에 순서 2의 브라우어 클래스가 존재하기 때문이다.