[논문 리뷰] Family of intersecting totally real manifolds of $(\Bbb C^n,0)$ and CR-singularities

Laurent Stolovitch|ArXiv.org|2005. 06. 02.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $({\mathbb{C}}^n,0)$ 내의 완전히 실수 부분다양체와 CR-특이점을 가진 해석적 실다양체의 가족을 조사하며, 이러한 대상들이 언제 헬름로픽하게 직선화될 수 있는지 또는 관련된 이차형식과 형식적으로 동치가 되는지를 규명한다. 주요 기여는 형식적 장애물이 존재하는 경우에도 헬름로픽 직선화를 가능하게 하는 불변 복소해석적 집합을 구성한 것으로, 이는 고차원으로 일반화된 비숍 불변량을 제안하고, 디오판틴 조건과 비퇴화 조건 하에서 헬름로픽 동치를 증명한다.

ABSTRACT

The first part of this article is devoted to the study families of totally real intersecting $n$-submanifolds of $(\Bbb C^n,0)$. We give some conditions which allow to straighten holomorphically the family. If this is not possible to do it formally, we construct a germ of complex analytic set at the origin which interesection with the family can be holomorphically staightened. The second part is devoted to the study real analytic $(n+r)$-submanifolds of $(\Bbb C^n,0)$ having a CR-singularity at the origin ($r$ is a nonnegative integer). We consider deformations of quadrics and we define generalized Bishop invariants. Such a quadric intersects the complex linear manifold ${z_{p+1}=...=z_n=0}$ along some real linear set ${\cal L}$. We study what happens to this intersection when the quadric is analytically perturbed. On the other hand, we show, under some assumptions, that if such a submanifold is formally equivalent to its associated quadric then it is holomorphically equivalent to it. All these results rely on a result stating the existence (and caracterization) of a germ of complex analytic set left invariant by an abelian group of germs of holomorphic diffeomorphisms (not tangent to the identity at the origin).

연구 동기 및 목표

• $({\mathbb{C}}^n,0)$ 내에서 원점에서 만날 완전히 실수 $n$차원 부분다양체의 가족에 대한 헬름로픽 분류를 이해하는 것.
• 원점에서 CR-특이성을 가진 실해석적 $(n+r)$차원 부분다양체, 특히 이차형식의 변형을 분석하는 것.
• 고차원 CR-특이 부분다양체에 대한 일반화된 비숍 불변량 $\gamma_i$를 정의하고, 해석적 편항 하에서의 기하적 행동을 연구하는 것.
• 형식적으로 이차형식과 동치일 때 실제 헬름로픽 동치로 이어지는 조건을 설정하는 것.
• 아벨 군의 헬름로픽 미분형사에 대해 불변인 복소해석적 집합의 원점 근방을 구성하여, 교차의 헬름로픽 직선화를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 원점 근처에서 작용하는 아벨 군의 국소 헬름로픽 미분형사들을 이용해 불변 복소해석적 집합을 식별하는 것.
• 미분형사의 선형 부분이 원점에서 비퇴화되고 디오판틴 조건을 만족할 경우 선형화 기법을 적용하는 것.
• 미분형사의 선형 부분에 대해 불변인 단항식으로 생성되는 공진 이상 $\mathrm{ResIdeal}$ 을 구성하여, 불변 집합의 영점집합을 정의하는 것.
• 문제를 선형화된 시스템의 첫 번째 적분과 불변량의 연구로 환원하며, 특히 단항식 $\zeta_i\eta_i$와 $\upsilon_j\upsilon_k$에 집중하는 것.
• 부분다양체의 복소화와 반복해석적 포함사 $\rho$의 고정점 집합 $\mathrm{Fix}(\rho)$를 이용해 복소해석적 집합과의 교차를 특성화하는 것.
• 공진과 디오판틴 조건 하에서 미분형사의 형식적 선형화에 관한 정리를 적용하여, 직선화 과정의 수렴성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $({\mathbb{C}}^n,0)$ 내에서 원점에서 만날 완전히 실수 $n$-부분다양체의 가족이 언제 헬름로픽하게 직선화될 수 있는가?
• RQ2 형식적 직선화 실패가 있을 경우, 복소해석적 집합의 국소가 이러한 가족의 헬름로픽 직선화 장애를 해결하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 일반화된 비숍 불변량 $\gamma_i$는 $({\mathbb{C}}^n,0)$ 내에서 $n$차원 CR-특이 부분다양체의 기하학을 어떻게 특성화하는가?
• RQ4 실해석적 부분다양체가 원점에서 CR-특이성을 가지며, 관련된 이차형식과 형식적으로 동치일 때 언제 실제 헬름로픽 동치가 되는가?
• RQ5 적절한 헬름로픽 좌표계에서 CR-특이 부분다양체와 불변 복소해석적 집합의 교차는 어떤 구조를 가지는가?

주요 결과

• 아벨 군의 헬름로픽 미분형사에 대해 불변인 복소해석적 집합의 국소가 존재하며, 형식적 직선화가 실패하는 경우에도 이 집합을 이용해 완전히 실수 부분다양체의 교차를 헬름로픽하게 직선화할 수 있다.
• 미분형사의 선형 부분에 대해 불변인 단항식으로 생성되는 공진 이상 $\mathrm{ResIdeal}$ 은 부분다양체와 복소선형 부분공간의 복소화된 교차의 영점집합을 정의한다.
• 특수한 경우 $p=1$ 에서는 클링베르크의 정리가 복귀된다: 적절한 좌표계 하에서 $\{v_2=0\}$ 은 부분다양체와 $\{\zeta_1\eta_1=0\}$ 에서 교차하며, 이는 실해석적 집합이다.
• 미분형사의 선형 부분 $D\Phi(0)$ 가 서로 다른 하이퍼볼릭 고유값을 가지며, $\mathrm{ResIdeal}$ 에 대해 디오판틴 조건을 만족할 경우, 부분다양체는 관련된 이차형식과 헬름로픽 동치이다.
• 타원형 또는 복소 고유값을 가진 부분다양체의 경우, 불변 집합은 $\tilde{V} = V({\cal I}) \cap \bigcap_{i\in{\cal E}}\{\zeta_i=\eta_i=0\} \cap \bigcap_{j\in{\cal C}}\{\zeta_{r+2j-1}=\eta_{r+2j-1}=\zeta_{r+2j}=\eta_{r+2j}=0\}$ 로 수정되며, 이 집합은 포함사 $\rho$ 에 대해 불변이다.
• 부분다양체를 정의하는 함수들은 $\mathrm{ResIdeal}$ 의 영점집합에서 0이 되며, $V(\mathrm{ResIdeal})$ 의 $\tau_j$-불변성은 군 작용 하에서 교차가 유지됨을 보장한다.