[논문 리뷰] Fast Quantum Algorithm for Solving Multivariate Quadratic Equations

Jean‐Charles Faugère, Kelsey Horan외 4명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 19.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 32인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 강한 준정규성 가정 하에 $ m = n $ 개의 부울 다변수 이차방정식(MQ₂) 시스템을 $ O(2^{0.462n}) $ 개의 양자 게이트로 해결하는 라스베가스 양자 알고리즘을 제시한다. 그로버의 확률 증폭 기법과 그로브너 기저 기법을 기반으로 한 양자 일관성 검사 오라클을 조합함으로써, 고전적 방법에 비해 초과 제곱근 속도 향상을 달성하고, 이 구조화된 문제에 대해 표준 그로버 검색의 $ O(2^{n/2}) $ 경계를 초월한다.

ABSTRACT

In August 2015 the cryptographic world was shaken by a sudden and surprising announcement by the US National Security Agency NSA concerning plans to transition to post-quantum algorithms. Since this announcement post-quantum cryptography has become a topic of primary interest for several standardization bodies. The transition from the currently deployed public-key algorithms to post-quantum algorithms has been found to be challenging in many aspects. In particular the problem of evaluating the quantum-bit security of such post-quantum cryptosystems remains vastly open. Of course this question is of primarily concern in the process of standardizing the post-quantum cryptosystems. In this paper we consider the quantum security of the problem of solving a system of {\it $m$ Boolean multivariate quadratic equations in $n$ variables} (\MQb); a central problem in post-quantum cryptography. When $n=m$, under a natural algebraic assumption, we present a Las-Vegas quantum algorithm solving \MQb{} that requires the evaluation of, on average, $O(2^{0.462n})$ quantum gates. To our knowledge this is the fastest algorithm for solving \MQb{}.

연구 동기 및 목표

• MQ₂ 문제에 대해 $ O(2^{n/2}) $ 이하의 양자 복잡도 경계를 초월하는 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 강력한 준정규성과 같은 현실적인 대수적 가정 하에, 다변수 암호 체계의 양자 비트 보안성을 구체적이고 효율적인 양자 공격 모델을 통해 평가하는 것.
• MQ₂ 시스템 내의 대수적 구조를 활용하여 양자 일관성 검사를 통해 일반적인 양자 검색의 한계를 극복하는 것.
• 양자 증폭된 그로브너 기저 기법을 통합함으로써 그로버 알고리즘을 초월하는 양자 속도 향상을 입증하는 것.
• 강력한 준정규성과 같은 현실적인 대수적 가정 하에 MQ₂를 해결하는 데 필요한 실용적인 양자 복잡도 추정치를 제공하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 부분 집합의 변수로부터 생성된 모순적인 매크로일레이 매트릭스를 검색하기 위해 그로버 방법에 영감을 받은 확률 증폭을 사용한다.
• 알고리즘은 $ k = (1 - \gamma)n $ 개의 변수로부터 파생된 시스템의 일관성을 점검하는 양자 오라클 $ \mathcal{QBS} $ 를 구성하며, 이는 시스템의 구조를 활용한다.
• 일관성 검사는 매크로일레이 매트릭스를 평가하고, 시스템이 해를 가지지 않는지 여부를 판단하는 양자 회로를 통해 수행되며, 블랙박스 모델을 사용한다.
• 알고리즘은 그로버의 확산 연산자를 적용하여 모순적인 구성의 확률을 증폭함으로써, 문제적 변수 할당을 효율적으로 식별한다.
• 모순적인 부분 할당을 식별한 후, 나머지 $ n - k $ 개의 변수에 대해 그로버 알고리즘을 사용하여 최종적으로 완전한 양자 검색을 수행한다.
• 알고리즘의 총 복잡도는 $ \gamma $ 를 최적화하여, 일관성 검사 횟수와 남은 검색 공간 크기 사이의 트레이드오프를 조절함으로써 최소화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MQ₂ 문제에 대해 그로버 알고리즘의 $ O(2^{n/2}) $ 경계를 초월하는 양자 알고리즘이 가능할 수 있는가?
• RQ2 시스템이 강한 준정규성을 보일 경우, MQ₂를 해결하는 데 필요한 양자 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 그로브너 기저 기법을 기반으로 한 양자 일관성 검사는 초위상에서 효율적으로 구현될 수 있는가, 이를 통해 총 게이트 수를 줄일 수 있는가?
• RQ4 양자 증폭과 MQ₂ 시스템 내의 대수적 구조의 조합이 점근적 양자 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 양자 알고리즘은 다항식 근사 기반의 고전적 근사 알고리즘과 비교해 얼마나 더 뛰어난 성능을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 라스베가스 양자 알고리즘은 시스템이 0.17-강한 준정규성을 가질 경우, MQ₂를 해결하는 데 기대 게이트 복잡도 $ O(2^{0.462n}) $ 를 달성한다.
• 이 복잡도는 MQ₂에 대해 가장 잘 알려진 고전적 알고리즘의 고전적 복잡도 $ O(2^{0.396n}) $ 에 비해 상당한 향상이다.
• 알고리즘은 일반적인 양자 검색의 $ O(2^{n/2}) $ 경계를 초월하여, 구조화된 문제에서 초그로버 속도 향상이 가능함을 입증한다.
• 양자 일관성 검사 오라클 $ \mathcal{QBS} $ 는 초위상에서 구현 가능하며, 부분 할당에 대한 효율적 확률 증폭을 가능하게 한다.
• 분석 결과, 나머지 변수에 대한 최종 완전한 검색 비용은 일관성 검사 비용에 비해 무시할 만큼 낮다.
• 수치 최적화를 통해 0.17-강한 준정규성 가정 하에 $ \theta = 2 $ 이고 $ \gamma = 0.17 $ 일 때, 양자 게이트 수의 최소 지수는 0.462로 도출된다.